Упр.21.41 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

а) на отрезке [4; 7];
б) на луче (-бесконечность; 5];
в) на луче [2; +бесконечность);
г) на полуинтервале [-1; 6).

Преобразуем выражение под корнем:

$$y=\sqrt{x^2-10x+25}=\sqrt{(x-5)^2}=|x-5|.$$

График функции $$y=|x-5|$$ — это V-образная линия с вершиной в точке $$x=5$$, где значение функции равно $$0$$.

1. На отрезке $$[4;7]$$ вершина $$x=5$$ принадлежит этому промежутку, значит наименьшее значение функции равно

   $$y_{\min}=0.$$

   Наибольшее значение достигается на конце отрезка, наиболее удалённом от $$5$$:

   $$y(4)=|4-5|=1,\qquad y(7)=|7-5|=2.$$

   Следовательно, $$y_{\max}=2.$$

2. На луче $$(-\infty;5]$$ значение $$y=|x-5|$$ может быть сколь угодно большим при $$x\to -\infty$$, а наименьшее значение достигается в точке $$x=5$$:

   $$y_{\min}=0,$$

   а наибольшего значения нет.

3. На луче $$[2;+\infty)$$ точка $$x=5$$ также принадлежит области рассмотрения, поэтому

   $$y_{\min}=0.$$

   При $$x\to +\infty$$ функция неограниченно возрастает, значит наибольшего значения нет.

4. На полуинтервале $$[-1;6)$$ точка $$x=5$$ входит в промежуток, значит

   $$y_{\min}=0.$$

   Наибольшее значение достигается в левой границе:

   $$y(-1)=|-1-5|=6.$$

   Следовательно, $$y_{\max}=6.$$

Ответ

а) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=2$$; б) $$y_{\min}=0,$$ наибольшего значения нет; в) $$y_{\min}=0,$$ наибольшего значения нет; г) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=6$$.