Упр.21.40 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $$y=\sqrt{x^2+2x+1}$$: а) на отрезке $$[-2;2]$$; б) на луче $$[0;+\infty)$$; в) на луче $$(-\infty;3]$$; г) на отрезке $$[-5;0]$$.

Преобразуем выражение:

$$y=\sqrt{x^2+2x+1}=\sqrt{(x+1)^2}=|x+1|.$$

График функции $$y=|x+1|$$ — это V-образная линия с вершиной в точке $$(-1;0)$$. Значит, наименьшее значение функции равно $$0$$, а наибольшее на отрезке или луче определяется по концам области.

1. а) На отрезке $$[-2;2]$$:

   $$y_{\min}=0,$$

   $$y_{\max}=|2+1|=3.$$

2. б) На луче $$[0;+\infty)$$:

   при $$x=0$$ получаем $$y=|0+1|=1,$$

   значит, $$y_{\min}=1,$$ а наибольшее значение не существует, так как функция не ограничена сверху.

3. в) На луче $$(-\infty;3]$$:

   в точке $$x=-1$$ функция принимает наименьшее значение:

   $$y_{\min}=0.$$

   При $$x=3$$ имеем:

   $$y=|3+1|=4,$$

   значит, $$y_{\max}=4.$$

4. г) На отрезке $$[-5;0]$$:

   $$y_{\min}=0,$$

   $$y_{\max}=|-5+1|=4.$$

Ответ

а) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=3$$;

б) $$y_{\min}=1,\ y_{\max}$$ не существует;

в) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=4$$;

г) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=4$$.