Упр.21.34 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Задача

Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\begin{cases}\frac{2}{x+1},& -3\leq x<-1,\\-x^2,& -1\leq x\leq 2.\end{cases}$$

а) Найдите $$f(-1{,}5)$$, $$f(-1)$$, $$f(2)$$.

б) Постройте график функции $$y=f(x)$$.

в) Перечислите свойства функции.

Подробный ответ

Функция задана по частям:

$$f(x)= \begin{cases} -\dfrac{2}{x+1}, & -3\le x<-1,\\ -x^2, & -1\le x\le 2. \end{cases}$$

а) Найдём значения функции:

$$f(-1{,}5)=-\dfrac{2}{-1{,}5+1}=-\dfrac{2}{-0{,}5}=4,$$
$$f(-1)=-(-1)^2=-1,$$
$$f(2)=-2^2=-4.$$

б) График состоит из двух частей:

график функции $$y=-\dfrac{2}{x+1}$$ при $$-3\le x<-1$$;
график функции $$y=-x^2$$ при $$-1\le x\le 2$$.

На первом промежутке получаем ветвь гиперболы с точкой $$(-3;1)$$ и поведением при $$x\to -1-$$: $$y\to +\infty$$. На втором промежутке — часть параболы с вершиной в точке $$(0;0)$$ и концами $$(-1;-1)$$ и $$(2;-4)$$.

в) Свойства функции:

область определения: $$[-3;2]$$;
область значений: $$[-4;+\infty)$$;
функция возрастает при $$x\in[-3;-1)$$ и $$x\in[-1;0]$$;
убывает при $$x\in[0;2]$$;
функция ограничена снизу;
разрывна при $$x=-1$$;
$$y=0$$ при $$x=0$$;
$$y>0$$ при $$x\in[-3;-1)$$;
$$y<0$$ при $$x\in[-1;0)\cup(0;2]$$;
наименьшее значение: $$y_{\min}=-4$$;
наибольшего значения нет.

Ответ

а) $$f(-1{,}5)=4,\; f(-1)=-1,\; f(2)=-4.$$
б) График состоит из ветви $$y=-\dfrac{2}{x+1}$$ на $$[-3;-1)$$ и части параболы $$y=-x^2$$ на $$[-1;2]$$.
в) $$D(f)=[-3;2]$$, $$E(f)=[-4;+\infty)$$, функция возрастает на $$[-3;-1)$$ и $$[-1;0]$$, убывает на $$[0;2]$$, разрывна при $$x=-1$$.