Упр.21.34 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

2/(x+1), если -3 < = х < -1; -х2, если -1 < = х < = 2 а) Найдите f(-1,5); f(-1); f(2). б) Постройте график функции у = f(х). в) Перечислите свойства функции.

Функция задана по частям:

$$ f(x)= \begin{cases} -\dfrac{2}{x+1}, & -3\le x<-1,\\ -x^2, & -1\le x\le 2. \end{cases} $$

а) Найдём значения функции:

$$ f(-1{,}5)=-\dfrac{2}{-1{,}5+1}=-\dfrac{2}{-0{,}5}=4, $$
$$ f(-1)=-(-1)^2=-1, $$
$$ f(2)=-2^2=-4. $$

б) График состоит из двух частей:

• график функции $$y=-\dfrac{2}{x+1}$$ при $$-3\le x<-1$$;
• график функции $$y=-x^2$$ при $$-1\le x\le 2$$.

На первом промежутке получаем ветвь гиперболы с точкой $$(-3;1)$$ и поведением при $$x\to -1-$$: $$y\to +\infty$$. На втором промежутке — часть параболы с вершиной в точке $$ (0;0) $$ и концами $$(-1;-1)$$ и $$ (2;-4) $$.

в) Свойства функции:

• область определения: $$[-3;2]$$;
• область значений: $$[-4;+\infty)$$;
• функция возрастает при $$x\in[-3;-1)$$ и $$x\in[-1;0]$$;
• убывает при $$x\in[0;2]$$;
• функция ограничена снизу;
• разрывна при $$x=-1$$;
• $$y=0$$ при $$x=0$$;
• $$y>0$$ при $$x\in[-3;-1)$$;
• $$y<0$$ при $$x\in[-1;0)\cup(0;2]$$;
• наименьшее значение: $$y_{\min}=-4$$;
• наибольшего значения нет.

Ответ

а) $$f(-1{,}5)=4,\; f(-1)=-1,\; f(2)=-4.$$
б) График состоит из ветви $$y=-\dfrac{2}{x+1}$$ на $$[-3;-1)$$ и части параболы $$y=-x^2$$ на $$[-1;2]$$.
в) $$D(f)=[-3;2]$$, $$E(f)=[-4;+\infty)$$, функция возрастает на $$[-3;-1)$$ и $$[-1;0]$$, убывает на $$[0;2]$$, разрывна при $$x=-1$$.