Упр.21.15 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

1. Известно, что $$ab>0$$. Докажите, что:
   а) $$\sqrt{ab}=\sqrt{|a|}\cdot\sqrt{|b|}$$;
   б) $$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{|a|}}{\sqrt{|b|}}$$.

Так как $$ab>0,$$ то числа $$a$$ и $$b$$ одного знака: либо $$a>0$$ и $$b>0,$$ либо $$a<0$$ и $$b<0.$$ Поэтому в обоих случаях

$$|ab|=|a|\cdot|b|.$$

Тогда

$$\sqrt{ab}=\sqrt{|a|\cdot|b|}=\sqrt{|a|}\cdot\sqrt{|b|}.$$

Это и доказывает пункт а).

Для пункта б) заметим, что при $$ab>0$$ число $$\dfrac{a}{b}$$ положительно, значит

$$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{|a|}}{\sqrt{|b|}}.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$\left(\sqrt{\frac{a}{b}}\right)^2=\left(\frac{\sqrt{|a|}}{\sqrt{|b|}}\right)^2,$$

откуда

$$\frac{a}{b}=\frac{|a|}{|b|}.$$

Следовательно,

$$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{|a|}}{\sqrt{|b|}}.$$

Ответ

$$\sqrt{ab}=\sqrt{|a|}\cdot\sqrt{|b|}, \qquad \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{|a|}}{\sqrt{|b|}}.$$