Упр.21.14 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов, Александрова 8 класс, Просвещение: Упростите выражение v(10 + 8v(2 + v(9 + 4v2))).

Упростим выражение по шагам:

$$ \sqrt{10+8\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt2}}} $$

1) Сначала упростим внутренний корень:

$$ \sqrt{9+4\sqrt2}=\sqrt{8+4\sqrt2+1}=\sqrt{(2\sqrt2+1)^2}=2\sqrt2+1. $$

2) Тогда

$$ 2+\sqrt{9+4\sqrt2}=2+(2\sqrt2+1)=2\sqrt2+3. $$

3) Теперь найдём следующий корень:

$$ \sqrt{2\sqrt2+3}=\sqrt{2+2\sqrt2+1}=\sqrt{(\sqrt2+1)^2}=\sqrt2+1. $$

4) Подставим это в исходное выражение:

$$ 10+8\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt2}}=10+8(\sqrt2+1)=18+8\sqrt2. $$

5) Осталось вычислить внешний корень:

$$ \sqrt{18+8\sqrt2}=\sqrt{16+8\sqrt2+2}=\sqrt{(4+\sqrt2)^2}=4+\sqrt2. $$

Ответ

$$4+\sqrt2$$