Упр.21.13 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

1. Упростите выражение $$\sqrt{x^2+4x+4}-\sqrt{x^2-8x+16}+\sqrt{25-10x+x^2}$$, если:
   а) $$-5\le x\le -2$$;
   в) $$4\le x\le 5$$;
   д) $$7 б) $$-2\le x\le 4$$;
   г) $$5\le x\le 10$$;
   е) $$4

Преобразуем выражение:

$$\sqrt{x^2+4x+4}-\sqrt{x^2-8x+16}+\sqrt{25-10x+x^2}$$

$$=\sqrt{(x+2)^2}-\sqrt{(x-4)^2}+\sqrt{(5-x)^2}$$

$$=|x+2|-|x-4|+|5-x|.$$

Далее раскрываем модули с учётом заданного промежутка.

1. Если $$-5 \le x \le -2,$$ то

   $$|x+2|=-(x+2), \quad |x-4|=-(x-4), \quad |5-x|=5-x.$$

   Тогда

   $$-(x+2)-(-(x-4))+(5-x)=-x-2+x-4+5-x=-x-1.$$

2. Если $$-2 \le x \le 4,$$ то

   $$|x+2|=x+2, \quad |x-4|=-(x-4), \quad |5-x|=5-x.$$

   Тогда

   $$x+2-(-(x-4))+(5-x)=x+2+x-4+5-x=x+3.$$

3. Если $$4 \le x \le 5,$$ то

   $$|x+2|=x+2, \quad |x-4|=x-4, \quad |5-x|=5-x.$$

   Тогда

   $$x+2-(x-4)+(5-x)=11-x.$$

4. Если $$5 \le x \le 10,$$ то

   $$|x+2|=x+2, \quad |x-4|=x-4, \quad |5-x|=x-5.$$

   Тогда

   $$x+2-(x-4)+(x-5)=x+1.$$

5. Если $$7<x<12,$$ то знаки модулей такие же, как и при $$5 \le x \le 10,$$ поэтому

   $$x+2-(x-4)+(x-5)=x+1.$$

6. Если $$4<x<4{,}5,$$ то знаки модулей такие же, как и при $$4 \le x \le 5,$$ поэтому

   $$x+2-(x-4)+(5-x)=11-x.$$

Ответ

а) $$-x-1$$; б) $$x+3$$; в) $$11-x$$; г) $$x+1$$; д) $$x+1$$; е) $$11-x$$.