Дополнительная задача 20 Глава 4 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) пройдёт через точки (0; -2) и (1; 0);
б) пройдёт через точки (-1; 2) и (2; 1);
в) пройдёт через точку (0; -2) и будет иметь горизонтальную асимптоту у = 3;
г) пройдёт через точку (-1; 2) и будет иметь горизонтальную асимптоту у = -3;
д) пройдёт через точку (0; 2) и пересечёт прямую у = х только в одной точке;
е) пройдёт через точку (0; -8) и пересечёт прямую у = -х только в одной точке.

1. а) Подставим координаты точек $(0;-2)$ и $(1;0)$ в формулу $$y=\frac{ax+b}{x-2}.$$

   $$-2=\frac{a\cdot 0+b}{0-2}=\frac{b}{-2}, \qquad 0=\frac{a\cdot 1+b}{1-2}=\frac{a+b}{-1}.$$

   Отсюда $$b=4,$$ а затем $$a+4=0,$$ значит $$a=-4.$$

   Ответ: $$a=-4,\ b=4.$$

2. б) Подставим точки $(-1;2)$ и $(2;1)$:

   $$2=\frac{a\cdot(-1)+b}{-1-2}=\frac{-a+b}{-3}, \qquad 1=\frac{2a+b}{2-2}.$$

   Во втором равенстве знаменатель равен нулю, поэтому такое значение невозможно. Следовательно, подходящих значений $a$ и $b$ нет.

   Ответ: таких значений не существует.

3. в) График проходит через точку $(0;-2)$ и имеет горизонтальную асимптоту $$y=3.$$

   Из условия прохождения через точку:
   $$-2=\frac{b}{-2}, \quad b=4.$$

   Горизонтальная асимптота дробно-линейной функции равна отношению старших коэффициентов, значит
   $$\frac{a}{1}=3,$$
   откуда $$a=3.$$

   Ответ: $$a=3,\ b=4.$$

4. г) График проходит через точку $(-1;2)$ и имеет горизонтальную асимптоту $$y=-3.$$

   Тогда $$a=-3.$$

   Подставим точку $(-1;2)$:
   $$2=\frac{-a+b}{-3}.$$
   При $$a=-3$$ получаем
   $$2=\frac{3+b}{-3},$$
   откуда
   $$3+b=-6,\quad b=-9.$$

   Ответ: $$a=-3,\ b=-9.$$

5. д) График проходит через точку $(0;2)$ и пересекает прямую $$y=x$$ только в одной точке.

   Из условия:
   $$2=\frac{b}{-2}, \quad b=-4.$$

   Точки пересечения с прямой $$y=x$$ найдём из уравнения
   $$\frac{ax-4}{x-2}=x.$$
   Тогда
   $$ax-4=x(x-2),$$
   $$x^2-(a+2)x+4=0.$$

   Чтобы была одна точка пересечения, дискриминант должен быть равен нулю:
   $$D=(a+2)^2-16=0.$$
   Тогда
   $$(a+2)^2=16,$$
   $$a+2=4 \text{ или } a+2=-4,$$
   откуда
   $$a=2 \text{ или } a=-6.$$

   Ответ: $$a=2,\ b=-4$$ или $$a=-6,\ b=-4.$$

6. е) График проходит через точку $(0;-8)$ и пересекает прямую $$y=-x$$ только в одной точке.

   Из условия:
   $$-8=\frac{b}{-2}, \quad b=16.$$

   Точки пересечения с прямой $$y=-x$$ найдём из уравнения
   $$\frac{ax+16}{x-2}=-x.$$
   Тогда
   $$ax+16=-x(x-2),$$
   $$x^2-(a-2)x+16=0.$$

   Для одной точки пересечения дискриминант равен нулю:
   $$D=(a-2)^2-64=0.$$
   Значит,
   $$(a-2)^2=64,$$
   $$a-2=8 \text{ или } a-2=-8,$$
   откуда
   $$a=10 \text{ или } a=-6.$$

   Ответ: $$a=10,\ b=16$$ или $$a=-6,\ b=16.$$