Дополнительная задача 20 Глава 4 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
- Найдите значения $$a$$ и $$b$$, при которых график функции $$y=\frac{ax+b}{x-2}$$:
а) пройдёт через точки $$(0; -2)$$ и $$(1; 0)$$;
б) пройдёт через точки $$(-1; 2)$$ и $$(2; 1)$$;
в) пройдёт через точку $$(0; -2)$$ и будет иметь горизонтальную асимптоту $$y=3$$;
г) пройдёт через точку $$(-1; 2)$$ и будет иметь горизонтальную асимптоту $$y=-3$$;
д) пройдёт через точку $$(0; 2)$$ и пересечёт прямую $$y=x$$ только в одной точке;
е) пройдёт через точку $$(0; -8)$$ и пересечёт прямую $$y=-x$$ только в одной точке.
а) Подставим координаты точек $$(0;-2)$$ и $$(1;0)$$ в формулу $$y=\frac{ax+b}{x-2}.$$
$$-2=\frac{a\cdot 0+b}{0-2}=\frac{b}{-2}, \qquad 0=\frac{a\cdot 1+b}{1-2}=\frac{a+b}{-1}.$$
Отсюда $$b=4,$$ а затем $$a+4=0,$$ значит $$a=-4.$$
Ответ: $$a=-4,\ b=4.$$
б) Подставим точки $$(-1;2)$$ и $$(2;1)$$:
$$2=\frac{a\cdot(-1)+b}{-1-2}=\frac{-a+b}{-3}, \qquad 1=\frac{2a+b}{2-2}.$$
Во втором равенстве знаменатель равен нулю, поэтому такое значение невозможно. Следовательно, подходящих значений $$a$$ и $$b$$ нет.
Ответ: таких значений не существует.
в) График проходит через точку $$(0;-2)$$ и имеет горизонтальную асимптоту $$y=3.$$
Из условия прохождения через точку:
$$-2=\frac{b}{-2}, \quad b=4.$$Горизонтальная асимптота дробно-линейной функции равна отношению старших коэффициентов, значит
$$\frac{a}{1}=3,$$
откуда $$a=3.$$Ответ: $$a=3,\ b=4.$$
г) График проходит через точку $$(-1;2)$$ и имеет горизонтальную асимптоту $$y=-3.$$
Тогда $$a=-3.$$
Подставим точку $$(-1;2)$$:
$$2=\frac{-a+b}{-3}.$$
При $$a=-3$$ получаем
$$2=\frac{3+b}{-3},$$
откуда
$$3+b=-6,\quad b=-9.$$Ответ: $$a=-3,\ b=-9.$$
д) График проходит через точку $$(0;2)$$ и пересекает прямую $$y=x$$ только в одной точке.
Из условия:
$$2=\frac{b}{-2}, \quad b=-4.$$Точки пересечения с прямой $$y=x$$ найдём из уравнения
$$\frac{ax-4}{x-2}=x.$$
Тогда
$$ax-4=x(x-2),$$
$$x^2-(a+2)x+4=0.$$Чтобы была одна точка пересечения, дискриминант должен быть равен нулю:
$$D=(a+2)^2-16=0.$$
Тогда
$$(a+2)^2=16,$$
$$a+2=4 \text{ или } a+2=-4,$$
откуда
$$a=2 \text{ или } a=-6.$$Ответ: $$a=2,\ b=-4$$ или $$a=-6,\ b=-4.$$
е) График проходит через точку $$(0;-8)$$ и пересекает прямую $$y=-x$$ только в одной точке.
Из условия:
$$-8=\frac{b}{-2}, \quad b=16.$$Точки пересечения с прямой $$y=-x$$ найдём из уравнения
$$\frac{ax+16}{x-2}=-x.$$
Тогда
$$ax+16=-x(x-2),$$
$$x^2-(a-2)x+16=0.$$Для одной точки пересечения дискриминант равен нулю:
$$D=(a-2)^2-64=0.$$
Значит,
$$(a-2)^2=64,$$
$$a-2=8 \text{ или } a-2=-8,$$
откуда
$$a=10 \text{ или } a=-6.$$Ответ: $$a=10,\ b=16$$ или $$a=-6,\ b=16.$$
