Упр.20.36 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

1. Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\begin{cases}-1{,}3x^2, & -3\leq x\leq 0;\\ \sqrt{x}, & 04.\end{cases}$$
   а) Найдите $$f(-3),\ f(1),\ f(\sqrt{33}-1).$$
   б) Постройте график функции $$y=f(x).$$
   в) Перечислите свойства функции.

Дана функция

$$f(x)= \begin{cases} -\dfrac{1}{3}x^2, & -3\le x\le 0,\\ \sqrt{x}, & 0<x\le 4,\\ \dfrac{8}{x}, & x>4. \end{cases}$$

а) Найдём значения функции:

$$f(-3)=-\dfrac{1}{3}\cdot(-3)^2=-\dfrac{1}{3}\cdot 9=-3.$$

$$f(1)=\sqrt{1}=1.$$

Так как $$\sqrt{33}-1>4,$$ то используем третью формулу:

$$f(\sqrt{33}-1)=\dfrac{8}{\sqrt{33}-1} =\dfrac{8(\sqrt{33}+1)}{(\sqrt{33}-1)(\sqrt{33}+1)} =\dfrac{8(\sqrt{33}+1)}{33-1} =\dfrac{8(\sqrt{33}+1)}{32} =\dfrac{\sqrt{33}+1}{4}.$$

б) График состоит из трёх частей:

• парабола $$y=-\dfrac{1}{3}x^2$$ на отрезке $$[-3;0]$$;
• ветвь корня $$y=\sqrt{x}$$ на промежутке $$0<x\le 4$$;
• ветвь гиперболы $$y=\dfrac{8}{x}$$ при $$x>4$$.

Точки стыка: $$(-3,-3),\ (0,0),\ (4,2).$$

в) Свойства функции:

• область определения: $$[-3;+\infty)$$;
• область значений: $$[-3;2]$$;
• наименьшее значение: $$-3$$ при $$x=-3$$;
• наибольшее значение: $$2$$ при $$x=4$$;
• $$f(x)=0$$ при $$x=0$$;
• $$f(x)<0$$ при $$x\in[-3;0)$$;
• $$f(x)>0$$ при $$x\in(0;+\infty)$$;
• функция возрастает на $$[-3;4]$$;
• функция убывает на $$[4;+\infty)$$;
• функция ограничена сверху и снизу, непрерывна на каждом из промежутков задания.

Ответ

$$f(-3)=-3,\quad f(1)=1,\quad f(\sqrt{33}-1)=\dfrac{\sqrt{33}+1}{4}.$$

$$D(f)=[-3;+\infty),\qquad E(f)=[-3;2].$$