Упр.20.36 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)
-1.3*x2, если -3 < =x < =0;
корень x, если 0 < x < =4;
8/x, если x > 4.
а) Найдите f(-3), f(1), f(корень 33 — 1).
б) Постройте график функции у = f(x).
в) Перечислите свойства функции.
Дана функция
$$ f(x)= \begin{cases} -\dfrac{1}{3}x^2, & -3\le x\le 0,\\ \sqrt{x}, & 0<x\le 4,\\ \dfrac{8}{x}, & x>4. \end{cases} $$
а) Найдём значения функции:
$$ f(-3)=-\dfrac{1}{3}\cdot(-3)^2=-\dfrac{1}{3}\cdot 9=-3. $$
$$ f(1)=\sqrt{1}=1. $$
Так как $$\sqrt{33}-1>4,$$ то используем третью формулу:
$$ f(\sqrt{33}-1)=\dfrac{8}{\sqrt{33}-1} =\dfrac{8(\sqrt{33}+1)}{(\sqrt{33}-1)(\sqrt{33}+1)} =\dfrac{8(\sqrt{33}+1)}{33-1} =\dfrac{8(\sqrt{33}+1)}{32} =\dfrac{\sqrt{33}+1}{4}. $$
б) График состоит из трёх частей:
- парабола $$y=-\dfrac{1}{3}x^2$$ на отрезке $$[-3;0]$$;
- ветвь корня $$y=\sqrt{x}$$ на промежутке $$0<x\le 4$$;
- ветвь гиперболы $$y=\dfrac{8}{x}$$ при $$x>4$$.
Точки стыка: $$(-3,-3),\ (0,0),\ (4,2).$$
в) Свойства функции:
- область определения: $$[-3;+\infty)$$;
- область значений: $$[-3;2]$$;
- наименьшее значение: $$-3$$ при $$x=-3$$;
- наибольшее значение: $$2$$ при $$x=4$$;
- $$f(x)=0$$ при $$x=0$$;
- $$f(x)<0$$ при $$x\in[-3;0)$$;
- $$f(x)>0$$ при $$x\in(0;+\infty)$$;
- функция возрастает на $$[-3;4]$$;
- функция убывает на $$[4;+\infty)$$;
- функция ограничена сверху и снизу, непрерывна на каждом из промежутков задания.
Ответ
$$ f(-3)=-3,\quad f(1)=1,\quad f(\sqrt{33}-1)=\dfrac{\sqrt{33}+1}{4}. $$
$$ D(f)=[-3;+\infty),\qquad E(f)=[-3;2]. $$
