Упр.20.34 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

1. Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\frac{1}{x}$$. Докажите, что $$f(x+2)+f(2-x)=-4f(x^2-4)$$.

Подставим в данную функцию $$f(x)=\frac{3}{x}$$ вместо аргумента выражения $$x+2$$, $$2-x$$ и $$x^2-4$$:

$$f(x+2)+f(2-x)=\frac{3}{x+2}+\frac{3}{2-x}$$

Так как $$\frac{3}{2-x}=-\frac{3}{x-2}$$, получаем

$$\frac{3}{x+2}+\frac{3}{2-x}=\frac{3}{x+2}-\frac{3}{x-2}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{3}{x+2}-\frac{3}{x-2} = \frac{3(x-2)-3(x+2)}{(x+2)(x-2)} = \frac{3x-6-3x-6}{x^2-4} = \frac{-12}{x^2-4}$$

С другой стороны,

$$-4f(x^2-4)=-4\cdot \frac{3}{x^2-4}=\frac{-12}{x^2-4}$$

Следовательно,

$$f(x+2)+f(2-x)=-4f(x^2-4)$$

что и требовалось доказать.

Ответ

$$f(x+2)+f(2-x)=-4f(x^2-4)$$