Упр.20.33 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\frac{4}{x}$$. Докажите, что $$f(x+1)-f(x-1)=-\frac{1}{2}f(x+1)\cdot f(x-1)$$.

Дана функция $$f(x)=\frac{4}{x}.$$ Тогда

$$f(x+1)=\frac{4}{x+1}, \qquad f(x-1)=\frac{4}{x-1}.$$

Вычислим левую часть:

$$f(x+1)-f(x-1)=\frac{4}{x+1}-\frac{4}{x-1} =\frac{4(x-1)-4(x+1)}{(x+1)(x-1)} =\frac{4x-4-4x-4}{x^2-1} =-\frac{8}{x^2-1}.$$

Вычислим правую часть:

$$-\frac{1}{2}f(x+1)\cdot f(x-1) =-\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{x+1}\cdot \frac{4}{x-1} =-\frac{1}{2}\cdot \frac{16}{(x+1)(x-1)} =-\frac{8}{x^2-1}.$$

Левая и правая части равны, значит, тождество верно.

Ответ

$$f(x+1)-f(x-1)=-\frac{1}{2}f(x+1)\cdot f(x-1).$$