Упр.20.32 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

1. Решите неравенство графически: а) $$\frac{4}{x} > 2x-2$$; б) $$0{,}5x-1 > \frac{4}{x}$$.

а) Рассмотрим графики функций $$y=\frac{4}{x}$$ и $$y=2x-2.$$

Найдём точки их пересечения:

$$\frac{4}{x}=2x-2,$$

$$4=2x^2-2x,$$

$$x^2-x-2=0,$$

$$\left(x-2\right)\left(x+1\right)=0,$$

$$x=2 \text{ или } x=-1.$$

По графику видно, что неравенство $$\frac{4}{x}>2x-2$$ выполняется там, где график гиперболы расположен выше прямой:

$$x\in(-\infty;-1)\cup(0;2).$$

б) Рассмотрим графики функций $$y=0{,}5x-1$$ и $$y=\frac{4}{x}.$$

Найдём точки пересечения:

$$0{,}5x-1=\frac{4}{x},$$

$$0{,}5x^2-x=4,$$

$$x^2-2x-8=0,$$

$$\left(x-4\right)\left(x+2\right)=0,$$

$$x=4 \text{ или } x=-2.$$

По графику неравенство $$0{,}5x-1>\frac{4}{x}$$ выполняется на промежутках, где прямая выше гиперболы:

$$x\in(-2;0)\cup(4;+\infty).$$

Ответ

а) $$(-\infty;-1)\cup(0;2)$$

б) $$(-2;0)\cup(4;+\infty)$$