Дополнительная задача 20 Глава 5 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) График проходит через точки $$(0;-2)$$ и $$(1;0)$$. Тогда

$$\begin{cases} -2=\dfrac{a\cdot 0+b}{0-2},\\ 0=\dfrac{a\cdot 1+b}{1-2}. \end{cases}$$

$$\begin{cases} \dfrac{b}{-2}=-2,\\ \dfrac{a+b}{-1}=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} b=4,\\ a+b=0 \end{cases} \Rightarrow a=-4.$$

Ответ: $$a=-4,\ b=4.$$

б) График проходит через точки $$(-1;2)$$ и $$(2;1)$$. Тогда

$$\begin{cases} 2=\dfrac{a\cdot(-1)+b}{-1-2},\\ 1=\dfrac{a\cdot 2+b}{2-2}. \end{cases}$$

Во втором уравнении знаменатель равен нулю, поэтому такое значение невозможно. Следовательно, подходящих значений $$a$$ и $$b$$ не существует.

Ответ: таких значений нет.

в) График проходит через точку $$(0;-2)$$ и имеет горизонтальную асимптоту $$y=3$$. Тогда

$$\begin{cases} -2=\dfrac{a\cdot 0+b}{0-2},\\ \dfrac{ax+b}{x-2}=3. \end{cases}$$

Из первого уравнения получаем $$b=4$$.

Так как горизонтальная асимптота равна $$y=3$$, то отношение старших коэффициентов равно 3, значит $$a=3$$.

Ответ: $$a=3,\ b=4.$$

г) График проходит через точку $$(-1;2)$$ и имеет горизонтальную асимптоту $$y=-3$$. Тогда

$$\begin{cases} 2=\dfrac{a\cdot(-1)+b}{-1-2},\\ \dfrac{ax+b}{x-2}=-3. \end{cases}$$

Из условия асимптоты получаем $$a=-3$$.

Подставим в первое уравнение:

$$2=\dfrac{-(-3)+b}{-3} \Rightarrow 2=\dfrac{3+b}{-3} \Rightarrow 3+b=-6 \Rightarrow b=-9.$$

Ответ: $$a=-3,\ b=-9.$$

д) График проходит через точку $$(0;2)$$ и пересекает прямую $$y=x$$ только в одной точке.

$$\begin{cases} 2=\dfrac{a\cdot 0+b}{0-2},\\ \dfrac{ax+b}{x-2}=x. \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$\dfrac{b}{-2}=2 \Rightarrow b=-4.$$

Тогда

$$\dfrac{ax-4}{x-2}=x \Rightarrow ax-4=x(x-2)$$

$$ax-4=x^2-2x \Rightarrow x^2-(a+2)x+4=0.$$

Чтобы прямая и график пересекались только в одной точке, это квадратное уравнение должно иметь один корень, то есть $$D=0$$:

$$D=(a+2)^2-16=0$$

$$(a+2)^2=16 \Rightarrow a+2=\pm 4 \Rightarrow a=2 \text{ или } a=-6.$$

Ответ: $$a=-6,\ b=-4$$ или $$a=2,\ b=-4.$$

е) График проходит через точку $$(0;-8)$$ и пересекает прямую $$y=-x$$ только в одной точке.

$$\begin{cases} -8=\dfrac{a\cdot 0+b}{0-2},\\ \dfrac{ax+b}{x-2}=-x. \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$\dfrac{b}{-2}=-8 \Rightarrow b=16.$$

Тогда

$$\dfrac{ax+16}{x-2}=-x \Rightarrow ax+16=-x(x-2)$$

$$ax+16=-x^2+2x \Rightarrow x^2-(2-a)x+16=0.$$

Так как пересечение только в одной точке, то $$D=0$$:

$$D=(2-a)^2-64=0$$

$$(2-a)^2=64 \Rightarrow 2-a=\pm 8 \Rightarrow a=-6 \text{ или } a=10.$$

Ответ: $$a=-6,\ b=16$$ или $$a=10,\ b=16.$$