Дополнительная задача 20 Глава 5 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) пройдёт через точки (0; -2) и (1; 0);
б) пройдёт через точки (-1; 2) и (2; 1);
в) пройдёт через точку (0; -2) и будет иметь горизонтальную асимптоту у = 3;
г) пройдёт через точку (-1; 2) и будет иметь горизонтальную асимптоту у = -3;
д) пройдёт через точку (0; 2) и пересечёт прямую у = х только в одной точке;
е) пройдёт через точку (0; -8) и пересечёт прямую у = -х только в одной точке.

1. а) График проходит через точки $$ (0;-2) $$ и $$ (1;0) $$. Тогда

   $$ \begin{cases} -2=\dfrac{a\cdot 0+b}{0-2},\\ 0=\dfrac{a\cdot 1+b}{1-2}. \end{cases} $$

   $$ \begin{cases} \dfrac{b}{-2}=-2,\\ \dfrac{a+b}{-1}=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} b=4,\\ a+b=0 \end{cases} \Rightarrow a=-4. $$

   Ответ: $$ a=-4,\ b=4. $$

2. б) График проходит через точки $$ (-1;2) $$ и $$ (2;1) $$. Тогда

   $$ \begin{cases} 2=\dfrac{a\cdot(-1)+b}{-1-2},\\ 1=\dfrac{a\cdot 2+b}{2-2}. \end{cases} $$

   Во втором уравнении знаменатель равен нулю, поэтому такое значение невозможно. Следовательно, подходящих значений $$ a $$ и $$ b $$ не существует.

   Ответ: таких значений нет.

3. в) График проходит через точку $$ (0;-2) $$ и имеет горизонтальную асимптоту $$ y=3 $$. Тогда

   $$ \begin{cases} -2=\dfrac{a\cdot 0+b}{0-2},\\ \dfrac{ax+b}{x-2}=3. \end{cases} $$

   Из первого уравнения получаем $$ b=4 $$.

   Так как горизонтальная асимптота равна $$ y=3 $$, то отношение старших коэффициентов равно 3, значит $$ a=3 $$.

   Ответ: $$ a=3,\ b=4. $$

4. г) График проходит через точку $$ (-1;2) $$ и имеет горизонтальную асимптоту $$ y=-3 $$. Тогда

   $$ \begin{cases} 2=\dfrac{a\cdot(-1)+b}{-1-2},\\ \dfrac{ax+b}{x-2}=-3. \end{cases} $$

   Из условия асимптоты получаем $$ a=-3 $$.

   Подставим в первое уравнение:

   $$ 2=\dfrac{-(-3)+b}{-3} \Rightarrow 2=\dfrac{3+b}{-3} \Rightarrow 3+b=-6 \Rightarrow b=-9. $$

   Ответ: $$ a=-3,\ b=-9. $$

5. д) График проходит через точку $$ (0;2) $$ и пересекает прямую $$ y=x $$ только в одной точке.

   $$ \begin{cases} 2=\dfrac{a\cdot 0+b}{0-2},\\ \dfrac{ax+b}{x-2}=x. \end{cases} $$

   Из первого уравнения:

   $$ \dfrac{b}{-2}=2 \Rightarrow b=-4. $$

   Тогда

   $$ \dfrac{ax-4}{x-2}=x \Rightarrow ax-4=x(x-2) $$

   $$ ax-4=x^2-2x \Rightarrow x^2-(a+2)x+4=0. $$

   Чтобы прямая и график пересекались только в одной точке, это квадратное уравнение должно иметь один корень, то есть $$ D=0 $$:

   $$ D=(a+2)^2-16=0 $$

   $$ (a+2)^2=16 \Rightarrow a+2=\pm 4 \Rightarrow a=2 \text{ или } a=-6. $$

   Ответ: $$ a=-6,\ b=-4 $$ или $$ a=2,\ b=-4. $$

6. е) График проходит через точку $$ (0;-8) $$ и пересекает прямую $$ y=-x $$ только в одной точке.

   $$ \begin{cases} -8=\dfrac{a\cdot 0+b}{0-2},\\ \dfrac{ax+b}{x-2}=-x. \end{cases} $$

   Из первого уравнения:

   $$ \dfrac{b}{-2}=-8 \Rightarrow b=16. $$

   Тогда

   $$ \dfrac{ax+16}{x-2}=-x \Rightarrow ax+16=-x(x-2) $$

   $$ ax+16=-x^2+2x \Rightarrow x^2-(2-a)x+16=0. $$

   Так как пересечение только в одной точке, то $$ D=0 $$:

   $$ D=(2-a)^2-64=0 $$

   $$ (2-a)^2=64 \Rightarrow 2-a=\pm 8 \Rightarrow a=-6 \text{ или } a=10. $$

   Ответ: $$ a=-6,\ b=16 $$ или $$ a=10,\ b=16. $$