Упр.20.13 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Известно, что $$f(x)=-vx$$. Докажите, что:

• а) $$f(4x)=2f(x)$$;
• г) $$f(0{,}01x)=0{,}1f(x)$$;
• б) $$f(x^4)=-(f(x))^4$$;
• д) $$f(x^5)=x^2f(x)$$;
• в) $$f(9x^3)=3xf(x)$$;
• е) $$-f(0{,}04x^2)=0{,}2(f(x))^2$$.

Пусть $$f(x)=-\sqrt{x}.$$ Проверим равенства по очереди.

1. $$f(4x)=-\sqrt{4x}=-2\sqrt{x}=2(-\sqrt{x})=2f(x).$$

2. $$f(x^4)=-\sqrt{x^4}=-\sqrt{(x^2)^2}=-x^2.$$

   С другой стороны,

   $$-(f(x))^4=-(-\sqrt{x})^4=-\left((\sqrt{x})^2\right)^2=-x^2.$$

   Значит, $$f(x^4)=-(f(x))^4.$$

3. $$f(9x^3)=-\sqrt{9x^3}=-3x\sqrt{x}.$$

   А также

   $$3xf(x)=3x(-\sqrt{x})=-3x\sqrt{x}.$$

   Следовательно, $$f(9x^3)=3xf(x).$$

4. $$f(0{,}01x)=-\sqrt{0{,}01x}=-0{,}1\sqrt{x}=0{,}1(-\sqrt{x})=0{,}1f(x).$$

5. $$f(x^5)=-\sqrt{x^5}=-\sqrt{x^4\cdot x}=-x^2\sqrt{x}.$$

   С другой стороны,

   $$x^2f(x)=x^2(-\sqrt{x})=-x^2\sqrt{x}.$$

   Значит, $$f(x^5)=x^2f(x).$$

6. $$-f(0{,}04x^2)=-\bigl(-\sqrt{0{,}04x^2}\bigr)=\sqrt{0{,}04x^2}=0{,}2x.$$

   А также

   $$0{,}2(f(x))^2=0{,}2(-\sqrt{x})^2=0{,}2x.$$

   Следовательно, $$-f(0{,}04x^2)=0{,}2(f(x))^2.$$

Ответ

Все равенства верны.