Упр.20.11 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)
- Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $$y=\frac{2}{x}$$:
а) на отрезке $$[-2; -1]$$;
б) на полуинтервале $$[1; 4)$$;
в) на луче $$(-\infty; -1]$$;
г) на интервале $$(1; 2)$$.
Рассмотрим функцию $$y=\frac{2}{x}.$$
На каждом из указанных промежутков найдём значения функции на концах и учтём, входит ли конец промежутка в область рассмотрения.
а) $$[-2;-1]$$
$$y(-2)=\frac{2}{-2}=-1,$$
$$y(-1)=\frac{2}{-1}=-2.$$Так как на отрезке $$[-2;-1]$$ функция убывает, то
$$y_{\min}=-2,\quad y_{\max}=-1.$$
б) $$[1;4)$$
$$y(1)=\frac{2}{1}=2.$$
При $$x \to 4-$$ получаем $$y \to \frac{1}{2},$$ но точка $$x=4$$ не входит в промежуток.
Наименьшее значение не достигается, а наибольшее равно
$$y_{\max}=2.$$
в) $$(-\infty;-1]$$
$$y(-1)=\frac{2}{-1}=-2.$$
При $$x \to -\infty$$ значение функции стремится к $$0-,$$ но не достигает его.
Следовательно,
$$y_{\min}=-2,\quad y_{\max}\text{ не существует}.$$
г) $$(1;2)$$
На этом интервале функция принимает значения от $$1$$ до $$2,$$ но обе границы не входят в промежуток:
при $$x \to 1+$$ имеем $$y \to 2,$$
при $$x \to 2-$$ имеем $$y \to 1.$$Наименьшее и наибольшее значения не достигаются.
Ответ
а) $$y_{\min}=-2,\ y_{\max}=-1$$; б) $$y_{\max}=2,$$ наименьшего значения нет; в) $$y_{\min}=-2,$$ наибольшего значения нет; г) наименьшего и наибольшего значений нет.
