Дополнительная задача 2 Глава 2 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
Докажите, что этот «совет»:
- при $$a=c=0$$ всегда приводит к верному ответу;
- при $$a=c$$, $$c\ne0$$ никогда не приводит к верному ответу;
- при $$b=d$$ приводит к верному ответу в том и только том случае, когда $$a=-c$$;
- при $$b=-d$$ приводит к верному ответу в том и только том случае, когда $$a=-c$$;
- т. е. равенство $$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}$$ верно в том и только том случае, когда $$ad^2=-b^2c$$, $$b\ne0$$, $$d\ne0$$;
- для положительных $$a$$, $$b$$, $$c$$, $$d$$ не «работает»: сумма $$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}$$ всегда больше, чем $$\frac{a+c}{b+d}$$.
При $$a=c=0$$ имеем
$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{0}{b}+\frac{0}{d}=0,$$
$$\frac{a+c}{b+d}=\frac{0+0}{b+d}=0.$$
Следовательно, равенство верно.
При $$a=c,\ c\ne 0$$ получаем
$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{c}{b}+\frac{c}{d}=\frac{cd+bc}{bd},$$
а
$$\frac{a+c}{b+d}=\frac{c+c}{b+d}=\frac{2c}{b+d}.$$
Чтобы равенство было верным, должно выполняться
$$\frac{cd+bc}{bd}=\frac{2c}{b+d}.$$
Это не выполняется при любом $$c\ne 0$$, значит, совет неверен.
При $$b=d,\ a=-c$$ имеем
$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{-c}{d}+\frac{c}{d}=0,$$
$$\frac{a+c}{b+d}=\frac{-c+c}{d+d}=\frac{0}{2d}=0.$$
Следовательно, равенство верно.
При $$b=-d,\ a=-c$$ получаем
$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{-c}{-d}+\frac{c}{d}=\frac{c}{d}+\frac{c}{d}=\frac{2c}{d},$$
а
$$\frac{a+c}{b+d}=\frac{-c+c}{-d+d}=\frac{0}{0},$$
то есть выражение не имеет смысла. Значит, совет не приводит к верному ответу.
Проверим, когда
$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}.$$
Приведём левую часть к общему знаменателю:
$$\frac{ad+bc}{bd}=\frac{a+c}{b+d}.$$
Перемножим крест-накрест:
$$\left(ad+bc\right)\left(b+d\right)=\left(a+c\right)bd.$$
Раскроем скобки:
$$abd+ad^2+b^2c+bcd=abd+bcd.$$
Сократим одинаковые слагаемые:
$$ad^2+b^2c=0,$$
то есть
$$ad^2=-b^2c.$$
При $$b\ne 0$$ и $$d\ne 0$$ это и есть условие верности равенства.
Если $$a,b,c,d>0$$, то
$$ad^2>0,\qquad b^2c>0,$$
значит,
$$ad^2+b^2c>0.$$
Но для равенства нужно было бы $$ad^2+b^2c=0$$, что невозможно. Следовательно,
$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}>\frac{a+c}{b+d}.$$
Ответ
а) верно; б) неверно; в) верно тогда и только тогда, когда $$a=-c$$; г) неверно; д) верно тогда и только тогда, когда $$ad^2=-b^2c$$, $$b\ne 0$$, $$d\ne 0$$; е) для положительных $$a,b,c,d$$ всегда $$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}>\frac{a+c}{b+d}$$.
