Упр.2 Вариант 1 Контрольная работа 5 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

1. Используя метод выделения квадрата двучлена, докажите, что при любых неотрицательных значениях переменной $$x$$ выполняется неравенство $$x^3-8x\sqrt{x}+18>0$$.

Положим $$t=x\sqrt{x}.$$ Тогда при $$x\ge 0$$ имеем $$t\ge 0$$, а данное выражение преобразуется так:

$$x^3-8x\sqrt{x}+18=t^2-8t+18.$$

Выделим квадрат двучлена:

$$t^2-8t+18=t^2-8t+16+2=(t-4)^2+2.$$

Так как $$(t-4)^2\ge 0$$, то

$$(t-4)^2+2>0.$$

Следовательно, при любых неотрицательных значениях $$x$$ выполняется неравенство

$$x^3-8x\sqrt{x}+18>0.$$

Ответ

$$x^3-8x\sqrt{x}+18>0$$ при всех $$x\ge 0$$.