Упр.2.47 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Докажите, что если в дроби $$\frac{a^3-2b^3}{3a^3-a^2b-4ab^2}$$ переменные $$a$$ и $$b$$ заменить соответственно на $$pa$$ и $$pb$$, то получим дробь, тождественно равную данной. Используя доказанное тождество, найдите значение заданной дроби при:
а) $$a=\frac{5}{113}$$, $$b=\frac{4}{113}$$;
б) $$a=65$$, $$b=52$$.

Рассмотрим дробь

$$\frac{a^3-2b^3}{3a^3-a^2b-4ab^2}.$$

Заменим в ней $$a$$ на $$pa$$, а $$b$$ на $$pb$$:

$$\frac{(pa)^3-2(pb)^3}{3(pa)^3-(pa)^2(pb)-4(pa)(pb)^2}.$$

Преобразуем:

$$\frac{p^3a^3-2p^3b^3}{3p^3a^3-p^3a^2b-4p^3ab^2} = \frac{p^3(a^3-2b^3)}{p^3(3a^3-a^2b-4ab^2)}.$$

Сокращаем на $$p^3$$:

$$\frac{a^3-2b^3}{3a^3-a^2b-4ab^2}.$$

Значит, после замены $$a \to pa$$, $$b \to pb$$ дробь не изменяется.

Теперь найдём значение дроби.

а) $$a=\frac{5}{113},\quad b=\frac{4}{113}.$$

Пусть $$p=113$$. Тогда $$pa=5$$, $$pb=4$$.

Подставим:

$$\frac{5^3-2\cdot 4^3}{3\cdot 5^3-5^2\cdot 4-4\cdot 5\cdot 4^2} = \frac{125-128}{375-100-320} = \frac{-3}{-45} = \frac{1}{15}.$$

б) $$a=65,\quad b=52.$$

Пусть $$p=\frac{1}{13}$$. Тогда $$pa=5$$, $$pb=4$$, и значение дроби такое же, как в пункте а).

Следовательно,

$$\frac{a^3-2b^3}{3a^3-a^2b-4ab^2}=\frac{1}{15}.$$

Ответ

Дробь тождественно не изменяется при замене $$a \to pa$$, $$b \to pb$$;
а) $$\frac{1}{15}$$; б) $$\frac{1}{15}$$.