Упр.2.23 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

Найдите:
а) f(-4), f(-3), f(0), f(7);
б) х, если f(x) = 1, f(x) = 0, f(x) = -3;
в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-5; 2];
г) множество точек, принадлежащих графику функции у = f(x), абсцисса и ордината которых являются натуральными числами.

Подробный ответ

Функция задана по частям:

$$ f(x)= \begin{cases} -\frac13x-3, & \text{если } x<-3,\\ x+2, & \text{если } -3\le x\le 5. \end{cases} $$

Построим график по двум линейным участкам.

Для первой части удобно взять точки:

$$ x=-6 \Rightarrow y=-\frac13\cdot(-6)-3=2-3=-1, $$
$$ x=-9 \Rightarrow y=-\frac13\cdot(-9)-3=3-3=0. $$

Для второй части возьмём точки:

$$ x=0 \Rightarrow y=0+2=2, $$
$$ x=-2 \Rightarrow y=-2+2=0. $$

На графике первая прямая изображается только при $$x<-3$$, поэтому точка $$(-3,-2)$$ не входит в график и отмечается пустой точкой. Вторая прямая задана на отрезке $$[-3;5]$$, поэтому точки $$(-3,-1)$$ и $$ (5,7)$$ входят в график.

а) Найдём значения функции:

$$ f(-4)=-\frac13\cdot(-4)-3=\frac43-3=-\frac53; $$
$$ f(-3)=-3+2=-1; $$
$$ f(0)=0+2=2; $$
$$ f(7)\text{ не существует, так как }7\notin D(f). $$

б) Решим уравнения:

$$ f(x)=1 $$

1) при $$x<-3$$:

$$ -\frac13x-3=1 \Rightarrow -\frac13x=4 \Rightarrow x=-12; $$

2) при $$-3\le x\le 5$$:

$$ x+2=1 \Rightarrow x=-1. $$

Значит, $$f(x)=1$$ при $$x=-12$$ и $$x=-1$$.

$$ f(x)=0 $$

1) при $$x<-3$$:

$$ -\frac13x-3=0 \Rightarrow -\frac13x=3 \Rightarrow x=-9; $$

2) при $$-3\le x\le 5$$:

$$ x+2=0 \Rightarrow x=-2. $$

Значит, $$f(x)=0$$ при $$x=-9$$ и $$x=-2$$.

$$ f(x)=-3 $$

1) при $$x<-3$$:

$$ -\frac13x-3=-3 \Rightarrow x=0, $$
но $$0\not<-3$$, значит, это не подходит.

2) при $$-3\le x\le 5$$:

$$ x+2=-3 \Rightarrow x=-5, $$
но $$-5\notin[-3;5]$$.

Следовательно, таких значений $$x$$ нет.

в) На отрезке $$[-5;2]$$ рассматриваем оба участка функции.

На промежутке $$[-5;-3)$$ функция $$y=-\frac13x-3$$ убывает, поэтому наибольшее значение здесь достигается при $$x=-5$$:

$$ f(-5)=-\frac13\cdot(-5)-3=\frac53-3=-\frac43. $$

На промежутке $$[-3;2]$$ функция $$y=x+2$$ возрастает, значит, наибольшее значение на этом промежутке при $$x=2$$:

$$ f(2)=2+2=4. $$

Наименьшего значения на отрезке $$[-5;2]$$ нет, так как при переходе к точке $$x=-3$$ слева значения стремятся к $$-2$$, но это значение не достигается.

г) Ищем точки графика, у которых и абсцисса, и ордината — натуральные числа.

На участке $$y=-\frac13x-3$$ при натуральных $$x$$ точек с натуральной ординатой нет.

На участке $$y=x+2$$ при натуральных $$x$$ получаем:

$$ (1;3),\ (2;4),\ (3;5),\ (4;6),\ (5;7). $$