Упр.2.23 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

Дана функция $$y=f(x)$$, где
$$f(x)=\begin{cases}-\frac{1}{3}x-3, & \text{если } x<-3;\\x+2, & \text{если } -3\leqslant x\leqslant 5.\end{cases}$$
Постройте график функции $$y=f(x)$$.
Найдите:
а) $$f(-4),\ f(-3),\ f(0),\ f(7)$$;
б) $$x$$, если $$f(x)=1$$, $$f(x)=0$$, $$f(x)=-3$$;
в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $$[-5;2]$$;
г) множество точек, принадлежащих графику функции $$y=f(x)$$, абсцисса и ордината которых являются натуральными числами.

Подробный ответ

Функция задана по частям:

$$f(x)= \begin{cases} -\frac13x-3, & \text{если } x<-3,\\ x+2, & \text{если } -3\le x\le 5. \end{cases}$$

Построим график по двум линейным участкам.

Для первой части удобно взять точки:

$$x=-6 \Rightarrow y=-\frac13\cdot(-6)-3=2-3=-1,$$
$$x=-9 \Rightarrow y=-\frac13\cdot(-9)-3=3-3=0.$$

Для второй части возьмём точки:

$$x=0 \Rightarrow y=0+2=2,$$
$$x=-2 \Rightarrow y=-2+2=0.$$

На графике первая прямая изображается только при $$x<-3$$, поэтому точка $$(-3,-2)$$ не входит в график и отмечается пустой точкой. Вторая прямая задана на отрезке $$[-3;5]$$, поэтому точки $$(-3,-1)$$ и $$(5,7)$$ входят в график.

а) Найдём значения функции:

$$f(-4)=-\frac13\cdot(-4)-3=\frac43-3=-\frac53;$$
$$f(-3)=-3+2=-1;$$
$$f(0)=0+2=2;$$
$$f(7)\text{ не существует, так как }7\notin D(f).$$

б) Решим уравнения:

$$f(x)=1$$

1) при $$x<-3$$:

$$-\frac13x-3=1 \Rightarrow -\frac13x=4 \Rightarrow x=-12;$$

2) при $$-3\le x\le 5$$:

$$x+2=1 \Rightarrow x=-1.$$

Значит, $$f(x)=1$$ при $$x=-12$$ и $$x=-1$$.

$$f(x)=0$$

1) при $$x<-3$$:

$$-\frac13x-3=0 \Rightarrow -\frac13x=3 \Rightarrow x=-9;$$

2) при $$-3\le x\le 5$$:

$$x+2=0 \Rightarrow x=-2.$$

Значит, $$f(x)=0$$ при $$x=-9$$ и $$x=-2$$.

$$f(x)=-3$$

1) при $$x<-3$$:

$$-\frac13x-3=-3 \Rightarrow x=0,$$
но $$0\not<-3$$, значит, это не подходит.

2) при $$-3\le x\le 5$$:

$$x+2=-3 \Rightarrow x=-5,$$
но $$-5\notin[-3;5]$$.

Следовательно, таких значений $$x$$ нет.

в) На отрезке $$[-5;2]$$ рассматриваем оба участка функции.

На промежутке $$[-5;-3)$$ функция $$y=-\frac13x-3$$ убывает, поэтому наибольшее значение здесь достигается при $$x=-5$$:

$$f(-5)=-\frac13\cdot(-5)-3=\frac53-3=-\frac43.$$

На промежутке $$[-3;2]$$ функция $$y=x+2$$ возрастает, значит, наибольшее значение на этом промежутке при $$x=2$$:

$$f(2)=2+2=4.$$

Наименьшего значения на отрезке $$[-5;2]$$ нет, так как при переходе к точке $$x=-3$$ слева значения стремятся к $$-2$$, но это значение не достигается.

г) Ищем точки графика, у которых и абсцисса, и ордината — натуральные числа.

На участке $$y=-\frac13x-3$$ при натуральных $$x$$ точек с натуральной ординатой нет.

На участке $$y=x+2$$ при натуральных $$x$$ получаем:

$$(1;3),\ (2;4),\ (3;5),\ (4;6),\ (5;7).$$