Упр.2.21 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Решите систему уравнений:

а) $$\begin{cases}2x+5y=15,\\3x+8y=-1;\end{cases}$$

б) $$\begin{cases}\frac{1}{4}x-y=-5,\\\frac{1}{2}x-\frac{1}{7}y=3.\end{cases}$$

1. а) Решим систему методом сложения:

   $$\begin{cases} 2x+5y=15,\\ 3x+8y=-1. \end{cases}$$

   Умножим первое уравнение на $$3$$, а второе — на $$2$$:

   $$\begin{cases} 6x+15y=45,\\ 6x+16y=-2. \end{cases}$$

   Вычтем первое уравнение из второго:

   $$(6x+15y)-(6x+16y)=45-(-2)$$
   $$-y=47,\quad y=-47.$$

   Подставим найденное значение в первое уравнение:

   $$2x+5(-47)=15$$
   $$2x-235=15$$
   $$2x=250,\quad x=125.$$

   Получаем решение системы: $$\left(125;\,-47\right).$$

2. б) Решим систему методом сложения:

   $$\begin{cases} \frac14x-y=-5,\\ \frac12x-\frac17y=3. \end{cases}$$

   Умножим первое уравнение на $$4$$, а второе — на $$14$$:

   $$\begin{cases} x-4y=-20,\\ 7x-2y=42. \end{cases}$$

   Умножим первое уравнение на $$2$$:

   $$2x-8y=-40.$$

   Вычтем это уравнение из второго:

   $$(7x-2y)-(2x-8y)=42-(-40)$$
   $$5x+6y=82.$$

   Удобнее подставить $$x=20+4y$$ из первого уравнения в исходную систему. Тогда:

   $$\frac12(20+4y)-\frac17y=3$$
   $$10+2y-\frac17y=3$$
   $$10+\frac{13}{7}y=3$$
   $$\frac{13}{7}y=-7,\quad y=-\frac{49}{13}.$$

   Подставим в $$x-4y=-20$$:

   $$x-4\left(-\frac{49}{13}\right)=-20$$
   $$x+\frac{196}{13}=-20$$
   $$x=-\frac{456}{13}.$$

   Следовательно, решение системы: $$\left(-\frac{456}{13};\,-\frac{49}{13}\right).$$

Ответ

а) $$\left(125;\,-47\right)$$; б) $$\left(-\frac{456}{13};\,-\frac{49}{13}\right).$$