Упр.2.18 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
- Учащимся 8-го класса, в котором учится 40 человек, на каникулы было дано задание прочитать книги А, В и С. После каникул оказалось, что книгу А прочитали 25 учеников, книгу В — 22 ученика, книгу С — 22 ученика; одну из книг А или В прочитали 33 ученика, одну из книг А или С — 32 ученика, одну из книг В или С — 31 ученик. Полностью задание выполнили только 10 учеников класса. Сколько учеников: а) прочитали только по одной книге; б) прочитали две книги; в) не прочитали ни одной из указанных книг?
- Некоторая последовательность натуральных чисел состоит из чисел, кратных трём, четырём и двенадцати. Чисел, кратных трём, 23, кратных четырём — 42, а кратных двенадцати — 11. Из скольких элементов состоит последовательность?
Обозначим через $$A$$, $$B$$ и $$C$$ множества учеников, прочитавших книги соответственно $$A$$, $$B$$ и $$C$$.
Дано:
$$|A|=25,\quad |B|=22,\quad |C|=22,$$
$$|A\cup B|=33,\quad |A\cup C|=32,\quad |B\cup C|=31,\quad |A\cap B\cap C|=10.$$
Найдём попарные пересечения:
$$|A\cap B|=|A|+|B|-|A\cup B|=25+22-33=14,$$
$$|A\cap C|=|A|+|C|-|A\cup C|=25+22-32=15,$$
$$|B\cap C|=|B|+|C|-|B\cup C|=22+22-31=13.$$
Тогда число учеников, прочитавших только одну книгу:
$$|A\setminus(B\cup C)|=25-14-15+10=6,$$
$$|B\setminus(A\cup C)|=22-14-13+10=5,$$
$$|C\setminus(A\cup B)|=22-15-13+10=4.$$
Значит, только одну книгу прочитали:
$$6+5+4=15.$$
Число учеников, прочитавших две книги:
$$(|A\cap B|+|A\cap C|+|B\cap C|)-3|A\cap B\cap C| =14+15+13-3\cdot 10=12.$$
Не прочитали ни одной книги:
$$40-(15+12+10)=3.$$
Ответ
а) $$15$$ учеников; б) $$12$$ учеников; в) $$3$$ ученика.
1) Чисел, кратных только числу $$3$$ (не кратных $$12$$):
$$23-11=12.$$
2) Чисел, кратных только числу $$4$$ (не кратных $$12$$):
$$42-11=31.$$
3) Чисел, кратных и числу $$3$$, и числу $$4$$ (то есть кратных $$12$$):
$$11.$$
Тогда всего элементов последовательности:
$$12+31+11=54.$$
Ответ
$$54$$ элемента.
