Упр.2.18 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) прочитали только по одной книге;
б) прочитали две книги;
в) не прочитали ни одной из указанных книг?
Некоторая последовательность натуральных чисел состоит из чисел, кратных трём, четырём и двенадцати. Чисел, кратных трём, 23, кратных четырём — 42, а кратных двенадцати — 11. Из скольких элементов состоит последовательность?

Обозначим через $$A$$, $$B$$ и $$C$$ множества учеников, прочитавших книги соответственно $$A$$, $$B$$ и $$C$$.

Дано:

$$|A|=25,\quad |B|=22,\quad |C|=22,$$

$$|A\cup B|=33,\quad |A\cup C|=32,\quad |B\cup C|=31,\quad |A\cap B\cap C|=10.$$

Найдём попарные пересечения:

$$ |A\cap B|=|A|+|B|-|A\cup B|=25+22-33=14, $$

$$ |A\cap C|=|A|+|C|-|A\cup C|=25+22-32=15, $$

$$ |B\cap C|=|B|+|C|-|B\cup C|=22+22-31=13. $$

Тогда число учеников, прочитавших только одну книгу:

$$ |A\setminus(B\cup C)|=25-14-15+10=6, $$

$$ |B\setminus(A\cup C)|=22-14-13+10=5, $$

$$ |C\setminus(A\cup B)|=22-15-13+10=4. $$

Значит, только одну книгу прочитали:

$$6+5+4=15.$$

Число учеников, прочитавших две книги:

$$ (|A\cap B|+|A\cap C|+|B\cap C|)-3|A\cap B\cap C| =14+15+13-3\cdot 10=12. $$

Не прочитали ни одной книги:

$$ 40-(15+12+10)=3. $$

Ответ

а) $$15$$ учеников; б) $$12$$ учеников; в) $$3$$ ученика.

Ход решения

1) Чисел, кратных только числу $$3$$ (не кратных $$12$$):

$$23-11=12.$$

2) Чисел, кратных только числу $$4$$ (не кратных $$12$$):

$$42-11=31.$$

3) Чисел, кратных и числу $$3$$, и числу $$4$$ (то есть кратных $$12$$):

$$11.$$

Тогда всего элементов последовательности:

$$12+31+11=54.$$

Ответ

$$54$$ элемента.