Упр.2.16 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Учащимся 8-го класса, в котором учится 40 человек, на каникулы было дано задание прочитать книги А, В и С. После каникул оказалось, что книгу А прочитали 25 учеников, книгу В — 22 ученика, книгу С — 22 ученика; одну из книг А или В прочитали 33 ученика, одну из книг А или С — 32 ученика, одну из книг В или С — 31 ученик. Полностью задание выполнили только 10 учеников класса. Сколько учеников:
а) прочитали только по одной книге;
б) прочитали две книги;
в) не прочитали ни одной из указанных книг?

Обозначим:

$$A=25,\quad B=22,\quad C=22,$$

$$A\cup B=33,\quad A\cup C=32,\quad B\cup C=31,\quad A\cap B\cap C=10.$$

Сначала найдём, сколько учеников прочитали ровно одну книгу.

Число прочитавших только книгу $A$:

$$A-(A\cap B)-(A\cap C)+(A\cap B\cap C).$$

Найдём попарные пересечения:

$$A\cap B=25+22-33=14,$$

$$A\cap C=25+22-32=15,$$

$$B\cap C=22+22-31=13.$$

Тогда:

$$\text{только }A=25-14-15+10=6,$$

$$\text{только }B=22-14-13+10=5,$$

$$\text{только }C=22-15-13+10=4.$$

Итак, только одну книгу прочитали:

$$6+5+4=15.$$

Теперь найдём, сколько учеников прочитали две книги:

$$ (A\cap B)+(A\cap C)+(B\cap C)-3(A\cap B\cap C) $$

$$=14+15+13-3\cdot 10=42-30=12.$$

Наконец, число учеников, не прочитавших ни одной книги:

$$40-(15+12+10)=40-37=3.$$

Ответ

а) $15$ учеников; б) $12$ учеников; в) $3$ ученика.