Упр.19.42 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Задача

Постройте график функции $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\begin{cases}2x^2, & \text{если } -2\leq x\leq 0,\\3x+2, & \text{если } x>0.\end{cases}$$ С помощью графика функции найдите:
а) $$f(-2),\ f(0),\ f(1)$$;
б) значения $$x$$, при которых $$f(x)=2$$, $$f(x)=0$$, $$f(x)=8$$.

Подробный ответ

Функция задана по частям:

$$f(x)= \begin{cases} 2x^2, & -2 \le x \le 0,\\ 3x+2, & x>0. \end{cases}$$

Построим график по частям.

При $$-2 \le x \le 0$$ строим ветвь параболы $$y=2x^2$$. На концах отрезка получаем точки $$(-2,8)$$ и $$(0,0)$$, обе точки закрашены.
При $$x>0$$ строим луч прямой $$y=3x+2$$. В точке $$x=0$$ значение не входит в этот участок, поэтому точка $$(0,2)$$ выколота.

Теперь найдём значения функции:

$$f(-2)=2\cdot(-2)^2=8,\qquad f(0)=2\cdot 0^2=0,\qquad f(1)=3\cdot 1+2=5.$$

Найдём значения $$x$$, при которых функция принимает заданные значения.

$$f(x)=2 \Rightarrow \begin{cases} 2x^2=2, & -2 \le x \le 0,\\ 3x+2=2, & x>0. \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$x^2=1,\quad x=\pm 1.$$

С учётом условия $$-2 \le x \le 0$$ подходит только $$x=-1$$. Во втором случае $$3x+2=2$$ даёт $$x=0$$, но $$x>0$$ не выполняется, значит этот корень не подходит.

$$f(x)=0 \Rightarrow 2x^2=0 \Rightarrow x=0.$$

$$f(x)=8 \Rightarrow \begin{cases} 2x^2=8, & -2 \le x \le 0,\\ 3x+2=8, & x>0. \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$x^2=4,\quad x=\pm 2.$$

С учётом области $$-2 \le x \le 0$$ подходит $$x=-2$$. Из второго уравнения:

$$3x=6,\quad x=2.$$

Оба значения подходят.