Упр.19.19 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) {y = vx; y = x — 2};
б) {y = -vx; y = x^2};
в) {y = vx; y = |x|};
г) {y = -vx; y = 1/2 x — 4};
д) {y = vx; y = x^2};
е) {y = -vx; y = -|x|}.

1. а) Найдём точки пересечения графиков $$y=\sqrt{x}$$ и $$y=x-2$$.

   Решим уравнение:

   $$\sqrt{x}=x-2.$$

   Так как $$\sqrt{x}\ge 0$$, то $$x-2\ge 0$$, значит $$x\ge 2$$.

   Возведём обе части в квадрат:

   $$x=(x-2)^2$$

   $$x=x^2-4x+4$$

   $$x^2-5x+4=0$$

   $$\left(x-1\right)\left(x-4\right)=0$$

   $$x=1 \text{ или } x=4.$$

   С учётом условия $$x\ge 2$$ подходит только $$x=4$$. Тогда

   $$y=\sqrt{4}=2.$$

   Ответ: $$\left(4;2\right).$$

2. б) Решим систему $$y=-\sqrt{x}$$ и $$y=x^2$$.

   Приравняем правые части:

   $$x^2=-\sqrt{x}.$$

   Левая часть неотрицательна, правая неположительна. Равенство возможно только при

   $$x^2=0 \quad \text{и} \quad -\sqrt{x}=0.$$

   Отсюда $$x=0$$, тогда $$y=0$$.

   Ответ: $$\left(0;0\right).$$

3. в) Решим систему $$y=\sqrt{x}$$ и $$y=|x|$$.

   Так как $$x\ge 0$$, то $$|x|=x$$. Получаем:

   $$\sqrt{x}=x.$$

   Возведём в квадрат:

   $$x=x^2$$

   $$x^2-x=0$$

   $$x\left(x-1\right)=0$$

   $$x=0 \text{ или } x=1.$$

   Тогда

   при $$x=0$$: $$y=0$$;

   при $$x=1$$: $$y=1$$.

   Ответ: $$\left(0;0\right)$$ и $$\left(1;1\right).$$

4. г) Решим систему $$y=-\sqrt{x}$$ и $$y=\frac12x-4$$.

   Приравняем:

   $$-\sqrt{x}=\frac12x-4.$$

   Проверим точку пересечения по графику и подстановкой: при $$x=4$$

   $$y=-\sqrt{4}=-2,$$

   $$y=\frac12\cdot 4-4=-2.$$

   Значит, решение:

   $$\left(4;-2\right).$$

5. д) Решим систему $$y=\sqrt{x}$$ и $$y=x^2$$.

   Приравняем:

   $$\sqrt{x}=x^2.$$

   Возведём в квадрат:

   $$x=x^4$$

   $$x^4-x=0$$

   $$x\left(x^3-1\right)=0$$

   $$x\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)=0.$$

   Из действительных корней получаем $$x=0$$ и $$x=1$$.

   Тогда

   при $$x=0$$: $$y=0$$;

   при $$x=1$$: $$y=1$$.

   Ответ: $$\left(0;0\right)$$ и $$\left(1;1\right).$$

6. е) Решим систему $$y=-\sqrt{x}$$ и $$y=-|x|$$.

   Так как $$x\ge 0$$, то $$|x|=x$$, и система принимает вид:

   $$y=-\sqrt{x}, \qquad y=-x.$$

   Приравняем:

   $$-\sqrt{x}=-x$$

   $$\sqrt{x}=x.$$

   Как и в пункте в), получаем:

   $$x=0 \text{ или } x=1.$$

   Тогда

   при $$x=0$$: $$y=0$$;

   при $$x=1$$: $$y=-1$$.

   Ответ: $$\left(0;0\right)$$ и $$\left(1;-1\right).$$

Ответ

а) $$\left(4;2\right)$$; б) $$\left(0;0\right)$$; в) $$\left(0;0\right)$$ и $$\left(1;1\right)$$; г) $$\left(4;-2\right)$$; д) $$\left(0;0\right)$$ и $$\left(1;1\right)$$; е) $$\left(0;0\right)$$ и $$\left(1;-1\right).$$