Упр.19.31 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

а) система $$y=\frac{1}{8}x^2,\quad y=\sqrt{x}$$;

б) система $$y=0{,}5x^2,\quad y=|x|$$;

в) система $$y=3x^2,\quad y=-\sqrt{x}$$;

г) система $$y=|x|,\quad y=\frac{1}{3}x^2$$.

1. а) Найдём точки пересечения графиков $$y=\frac{1}{8}x^2$$ и $$y=\sqrt{x}$$.

   Решим уравнение:

   $$\frac{1}{8}x^2=\sqrt{x}.$$

   Так как $$\sqrt{x}$$ определён при $$x\ge 0$$, положим $$t=\sqrt{x}$$, тогда $$x=t^2$$. Получаем:

   $$\frac{1}{8}t^4=t \quad \Rightarrow \quad t\left(\frac{1}{8}t^3-1\right)=0.$$

   Отсюда $$t=0$$ или $$t^3=8$$, то есть $$t=2$$.

   Тогда $$x=t^2$$: $$x=0$$ или $$x=4$$.

   Соответствующие значения $$y$$: $$y=0$$ и $$y=2$$.

2. б) Найдём точки пересечения графиков $$y=0{,}5x^2$$ и $$y=|x|$$.

   Решим уравнение:

   $$0{,}5x^2=|x|.$$

   Пусть $$t=|x|$$, тогда $$x^2=t^2$$. Получаем:

   $$0{,}5t^2=t \quad \Rightarrow \quad t(0{,}5t-1)=0.$$

   Отсюда $$t=0$$ или $$t=2$$.

   Значит, $$|x|=0$$ или $$|x|=2$$, то есть $$x=0$$, $$x=-2$$, $$x=2$$.

   Тогда $$y=0$$ и $$y=2$$.

3. в) Найдём точки пересечения графиков $$y=3x^2$$ и $$y=-\sqrt{x}$$.

   Так как $$\sqrt{x}$$ определён при $$x\ge 0$$, а $$-\sqrt{x}\le 0$$, приравняем:

   $$3x^2=-\sqrt{x}.$$

   Левая часть неотрицательна, правая неположительна, значит равенство возможно только при

   $$3x^2=0 \quad \text{и} \quad -\sqrt{x}=0.$$

   Отсюда $$x=0$$, $$y=0$$.

4. г) Найдём точки пересечения графиков $$y=|x|$$ и $$y=\frac{1}{3}x^2$$.

   Решим уравнение:

   $$|x|=\frac{1}{3}x^2.$$

   Пусть $$t=|x|$$, тогда $$x^2=t^2$$. Получаем:

   $$t=\frac{1}{3}t^2 \quad \Rightarrow \quad t\left(\frac{1}{3}t-1\right)=0.$$

   Отсюда $$t=0$$ или $$t=3$$.

   Значит, $$|x|=0$$ или $$|x|=3$$, то есть $$x=0$$, $$x=-3$$, $$x=3$$.

   Тогда $$y=0$$ и $$y=3$$.

Ответ

а) $$(0;0),\ (4;2)$$; б) $$(0;0),\ (-2;2),\ (2;2)$$; в) $$(0;0)$$; г) $$(0;0),\ (-3;3),\ (3;3)$$.