Упр.19.31 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Задача

y=1/8*x2,
y=корень x;
б) система
y=0,5×2,
y=|x|;
в) система
y=3×2,
y=- корень x;
г) система
y=|x|,
y=1/3*x2.

Подробный ответ

а) Найдём точки пересечения графиков $$y=\frac{1}{8}x^2$$ и $$y=\sqrt{x}$$.
Решим уравнение:
$$\frac{1}{8}x^2=\sqrt{x}.$$
Так как $$\sqrt{x}$$ определён при $$x\ge 0$$, положим $$t=\sqrt{x}$$, тогда $$x=t^2$$. Получаем:
$$\frac{1}{8}t^4=t \quad \Rightarrow \quad t\left(\frac{1}{8}t^3-1\right)=0.$$
Отсюда $$t=0$$ или $$t^3=8$$, то есть $$t=2$$.
Тогда $$x=t^2$$: $$x=0$$ или $$x=4$$.
Соответствующие значения $$y$$: $$y=0$$ и $$y=2$$.
б) Найдём точки пересечения графиков $$y=0{,}5x^2$$ и $$y=|x|$$.
Решим уравнение:
$$0{,}5x^2=|x|.$$
Пусть $$t=|x|$$, тогда $$x^2=t^2$$. Получаем:
$$0{,}5t^2=t \quad \Rightarrow \quad t(0{,}5t-1)=0.$$
Отсюда $$t=0$$ или $$t=2$$.
Значит, $$|x|=0$$ или $$|x|=2$$, то есть $$x=0$$, $$x=-2$$, $$x=2$$.
Тогда $$y=0$$ и $$y=2$$.
в) Найдём точки пересечения графиков $$y=3x^2$$ и $$y=-\sqrt{x}$$.
Так как $$\sqrt{x}$$ определён при $$x\ge 0$$, а $$-\sqrt{x}\le 0$$, приравняем:
$$3x^2=-\sqrt{x}.$$
Левая часть неотрицательна, правая неположительна, значит равенство возможно только при
$$3x^2=0 \quad \text{и} \quad -\sqrt{x}=0.$$
Отсюда $$x=0$$, $$y=0$$.
г) Найдём точки пересечения графиков $$y=|x|$$ и $$y=\frac{1}{3}x^2$$.
Решим уравнение:
$$|x|=\frac{1}{3}x^2.$$
Пусть $$t=|x|$$, тогда $$x^2=t^2$$. Получаем:
$$t=\frac{1}{3}t^2 \quad \Rightarrow \quad t\left(\frac{1}{3}t-1\right)=0.$$
Отсюда $$t=0$$ или $$t=3$$.
Значит, $$|x|=0$$ или $$|x|=3$$, то есть $$x=0$$, $$x=-3$$, $$x=3$$.
Тогда $$y=0$$ и $$y=3$$.