Упр.19.25 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $$y=\frac{1}{3}x^2$$:

а) на интервале $$(3; 6)$$;

б) на отрезке $$[-3; 0]$$;

в) на открытом луче $$(-\infty; 3)$$;

г) на полуинтервале $$[-1; 4)$$.

Функция $$y=\frac{1}{3}x^2$$ — парабола с ветвями вверх. Её вершина находится в точке $$x=0$$, и наименьшее значение функции равно $$0$$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений на заданных промежутках учитываем поведение параболы: при удалении от нуля значение $$y$$ возрастает.

1. На интервале $$\left(3;6\right)$$ функция возрастает, но концы интервала не входят в промежуток, поэтому наименьшее и наибольшее значения не достигаются.

   $$y_{\min}$$ и $$y_{\max}$$ — невозможно обозначить.

2. На отрезке $$\left[-3;0\right]$$ наименьшее значение достигается в вершине параболы:

   $$y_{\min}= \frac{1}{3}\cdot 0^2=0.$$

   Наибольшее значение достигается при $$x=-3$$:

   $$y_{\max}= \frac{1}{3}\cdot (-3)^2=3.$$

3. На открытом луче $$(-\infty;3)$$ наименьшее значение равно $$0$$ и достигается при $$x=0$$.

   Наибольшего значения нет, так как при $$x\to -\infty$$ значение функции неограниченно возрастает.

4. На полуинтервале $$\left[-1;4\right)$$ наименьшее значение достигается при $$x=0$$:

   $$y_{\min}=0.$$

   Наибольшего значения нет, так как правая граница $$4$$ не входит в промежуток, а при приближении к ней значения функции продолжают расти.

Ответ

а) $$y_{\min}$$ и $$y_{\max}$$ не существуют;
б) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=3$$;
в) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}$$ не существует;
г) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}$$ не существует.