Упр.19.23 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
Дана функция $$y=f(x)$$, где
$$f(x)=\begin{cases}\sqrt{|x|},&-4\leqslant x<4,\\[2pt]\dfrac{1}{3}x+\dfrac{2}{3},&4\leqslant x\leqslant 7.\end{cases}$$
- Найдите корни уравнения $$f(x)=a$$, если $$a=-2$$, $$a=\sqrt{2}$$, $$a=6$$.
- Постройте график функции $$y=f(x)$$.
- Найдите наибольшее и наименьшее значения функции.
Функция задана так:
$$f(x)= \begin{cases} \sqrt{|x|}, & -4 \le x < 4,\\ \frac13x+\frac23, & 4 \le x \le 7. \end{cases}$$
а) Найдём корни уравнения $$f(x)=a$$ для каждого значения $$a$$.
1) При $$a=-2$$:
$$\sqrt{|x|}=-2$$
Корней нет, так как квадратный корень не может быть отрицательным.
Во второй части:
$$\frac13x+\frac23=-2$$
$$x+2=-6$$
$$x=-8$$
Но $$-8 \notin [4;7]$$, значит, и здесь корней нет.
2) При $$a=\sqrt2$$:
$$\sqrt{|x|}=\sqrt2$$
$$|x|=2$$
$$x=\pm 2$$
Оба значения принадлежат промежутку $$[-4;4)$$, значит, это корни.
3) При $$a=6$$:
$$\sqrt{|x|}=6$$
$$|x|=36$$
$$x=\pm 36$$
Но ни одно из этих значений не принадлежит промежутку $$[-4;4)$$, значит, корней нет.
Во второй части:
$$\frac13x+\frac23=6$$
$$x+2=18$$
$$x=16$$
Но $$16 \notin [4;7]$$, значит, корней нет.
б) Построим график функции.
На промежутке $$[-4;4)$$ строим график $$y=\sqrt{|x|}$$. Для него удобно взять точки:
$$(-4,2),\ (0,0),\ (4,2)$$
На промежутке $$[4;7]$$ строим отрезок прямой $$y=\frac13x+\frac23$$. Для него получаем точки:
$$(4,2),\ (7,3)$$
Итак, график состоит из двух частей: кривой $$y=\sqrt{|x|}$$ на $$[-4;4)$$ и отрезка прямой на $$[4;7]$$.
в) Найдём наименьшее и наибольшее значения функции.
На промежутке $$[-4;4)$$ функция $$y=\sqrt{|x|}$$ принимает значения от $$0$$ до $$2$$, а на промежутке $$[4;7]$$ — от $$2$$ до $$3$$.
Следовательно,
$$y_{\min}=0,\qquad y_{\max}=3.$$
Ответ
а) При $$a=-2$$ корней нет; при $$a=\sqrt2$$: $$x=-2,\ 2$$; при $$a=6$$ корней нет.
б) График состоит из части $$y=\sqrt{|x|}$$ при $$-4 \le x < 4$$ и отрезка прямой $$y=\frac13x+\frac23$$ при $$4 \le x \le 7$$.
в) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=3$$.
