Упр.19.23 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) Найдите корни уравнения f(x) = а, если а = —2, а = v2, а = 6.
б) Постройте график функции у = f(x).
в) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции.

Функция задана так:

$$ f(x)= \begin{cases} \sqrt{|x|}, & -4 \le x < 4,\\ \frac13x+\frac23, & 4 \le x \le 7. \end{cases} $$

а) Найдём корни уравнения $$f(x)=a$$ для каждого значения $$a$$.

1) При $$a=-2$$:

$$ \sqrt{|x|}=-2 $$

Корней нет, так как квадратный корень не может быть отрицательным.

Во второй части:

$$ \frac13x+\frac23=-2 $$

$$ x+2=-6 $$

$$ x=-8 $$

Но $$-8 \notin [4;7]$$, значит, и здесь корней нет.

2) При $$a=\sqrt2$$:

$$ \sqrt{|x|}=\sqrt2 $$

$$ |x|=2 $$

$$ x=\pm 2 $$

Оба значения принадлежат промежутку $$[-4;4)$$, значит, это корни.

3) При $$a=6$$:

$$ \sqrt{|x|}=6 $$

$$ |x|=36 $$

$$ x=\pm 36 $$

Но ни одно из этих значений не принадлежит промежутку $$[-4;4)$$, значит, корней нет.

Во второй части:

$$ \frac13x+\frac23=6 $$

$$ x+2=18 $$

$$ x=16 $$

Но $$16 \notin [4;7]$$, значит, корней нет.

б) Построим график функции.

На промежутке $$[-4;4)$$ строим график $$y=\sqrt{|x|}$$. Для него удобно взять точки:

$$ (-4,2),\ (0,0),\ (4,2) $$

На промежутке $$[4;7]$$ строим отрезок прямой $$y=\frac13x+\frac23$$. Для него получаем точки:

$$ (4,2),\ (7,3) $$

Итак, график состоит из двух частей: кривой $$y=\sqrt{|x|}$$ на $$[-4;4)$$ и отрезка прямой на $$[4;7]$$.

в) Найдём наименьшее и наибольшее значения функции.

На промежутке $$[-4;4)$$ функция $$y=\sqrt{|x|}$$ принимает значения от $$0$$ до $$2$$, а на промежутке $$[4;7]$$ — от $$2$$ до $$3$$.

Следовательно,

$$ y_{\min}=0,\qquad y_{\max}=3. $$

Ответ

а) При $$a=-2$$ корней нет; при $$a=\sqrt2$$: $$x=-2,\ 2$$; при $$a=6$$ корней нет.

б) График состоит из части $$y=\sqrt{|x|}$$ при $$-4 \le x < 4$$ и отрезка прямой $$y=\frac13x+\frac23$$ при $$4 \le x \le 7$$.

в) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=3$$.