Упр.19.23 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $$y=2x^2$$: а) на отрезке $$[-2;2]$$; б) на полуинтервале $$(-3;1]$$; в) на отрезке $$[-3;-1]$$; г) на луче $$[1;+\infty)$$.

Функция $$y=2x^2$$ — парабола с ветвями вверх. Её вершина находится в точке $$x=0$$, и там функция принимает наименьшее значение:

$$y(0)=2\cdot 0^2=0.$$

Наибольшее или наименьшее значение на заданном промежутке ищем, сравнивая значения функции в вершине и на концах промежутка, если они входят в область рассмотрения.

1. $$[-2;2]$$

   $$y(-2)=2\cdot (-2)^2=8,\qquad y(2)=2\cdot 2^2=8.$$

   Значит, $$y_{\min}=0,$$ $$y_{\max}=8.$$

2. $$(-3;1]$$

   Точка $$x=0$$ принадлежит промежутку, поэтому $$y_{\min}=0.$$

   При $$x\to -3+0$$ получаем $$y\to 2\cdot 9=18,$$ но точка $$x=-3$$ не входит в промежуток, значит наибольшее значение не достигается.

   Следовательно, $$y_{\max}$$ не существует.

3. $$[-3;-1]$$

   На этом отрезке функция убывает, поэтому:

   $$y(-3)=2\cdot 9=18,\qquad y(-1)=2\cdot 1=2.$$

   Значит, $$y_{\max}=18,$$ $$y_{\min}=2.$$

4. $$[1;+\infty)$$

   Наименьшее значение достигается при $$x=1$$:

   $$y(1)=2\cdot 1^2=2.$$

   При $$x\to +\infty$$ функция неограниченно возрастает, поэтому наибольшего значения нет.

Ответ

а) $$y_{\min}=0,$$ $$y_{\max}=8$$;

б) $$y_{\min}=0,$$ $$y_{\max}$$ не существует;

в) $$y_{\min}=2,$$ $$y_{\max}=18$$;

г) $$y_{\min}=2,$$ $$y_{\max}$$ не существует.