Упр.19.21 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\begin{cases}x^2, & \text{если } x<0;\\ \sqrt{x}, & \text{если } x\geq 0.\end{cases}$$
а) Найдите $$f(-2)$$, $$f(0)$$, $$f\left(2\frac{1}{4}\right)$$.
б) Постройте график функции $$y=f(x)$$.
в) Перечислите свойства функции.

Подробный ответ

Дана функция

$$f(x)= \begin{cases} x^2, & \text{если } x<0,\\ \sqrt{x}, & \text{если } x\ge 0. \end{cases}$$

а) Найдём значения функции:

$$f(-2)=(-2)^2=4,$$

$$f(0)=\sqrt{0}=0,$$

$$f\left(2\frac14\right)=\sqrt{2\frac14}=\sqrt{\frac94}=\frac32=1{,}5.$$

б) Построим график функции. При $$x<0$$ это ветвь параболы $$y=x^2$$, а при $$x\ge 0$$ — график функции $$y=\sqrt{x}$$. Обе части соединяются в точке $$(0;0)$$.

в) Укажем свойства функции:

область определения: $$(-\infty;+\infty)$$;
область значений: $$[0;+\infty)$$;
$$f(x)=0$$ при $$x=0$$;
$$f(x)>0$$ при $$x<0$$ и $$x>0$$;
функция убывает при $$x\in(-\infty;0]$$ и возрастает при $$x\in[0;+\infty)$$;
наибольшего и наименьшего значений не имеет;
функция непрерывна;
при $$x\le 0$$ график выпукл вниз, при $$x\ge 0$$ — выпукл вверх.

Ответ

а) $$f(-2)=4,\; f(0)=0,\; f\left(2\frac14\right)=\frac32.$$

б) График состоит из ветви параболы $$y=x^2$$ при $$x<0$$ и графика $$y=\sqrt{x}$$ при $$x\ge 0$$, соединённых в точке $$(0;0)$$.
в) $$D(f)=(-\infty;+\infty),\; E(f)=[0;+\infty),\; f(x)\ge 0,\;$$ функция убывает на $$(-\infty;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty)$$.