Упр.19.20 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

a) vх ? 3; в) -vх < 2 - х; д) vx ? |x|; б) -vx ? 2; г) vx > 2/3 x — 3; е) -vx ? x^2.

Подробный ответ

а) $$\sqrt{x}\le 3$$
Область определения: $$x\ge 0.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x\le 9.$$
С учётом ОДЗ получаем:
$$x\in[0;9].$$
б) $$-\sqrt{x}\ge 2$$
Так как $$\sqrt{x}\ge 0,$$ то $$-\sqrt{x}\le 0.$$
Число $$2$$ больше нуля, значит неравенство решений не имеет.
$$\varnothing$$
в) $$-\sqrt{x}<2-x$$
Область определения: $$x\ge 0.$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$x-\sqrt{x}-2<0.$$
Положим $$t=\sqrt{x},\quad t\ge 0.$$ Тогда $$x=t^2,$$ и получаем:
$$t^2-t-2<0.$$
Разложим на множители:
$$\left(t-2\right)\left(t+1\right)<0.$$
С учётом $$t\ge 0$$ имеем:
$$0\le t<2.$$
Возвращаясь к $$x,$$ получаем:
$$0\le x<4.$$
г) $$\sqrt{x}>\frac{2}{3}x-3$$
Область определения: $$x\ge 0.$$
По графику видно, что неравенство выполняется до точки пересечения графиков, то есть при
$$x\in[0;9).$$
д) $$\sqrt{x}\ge |x|$$
Так как $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x.$$ Тогда
$$\sqrt{x}\ge x.$$
Положим $$t=\sqrt{x},\quad t\ge 0.$$ Тогда $$x=t^2,$$ и получаем:
$$t\ge t^2.$$
$$t^2-t\le 0$$
$$t(t-1)\le 0.$$
Отсюда $$0\le t\le 1,$$ значит
$$0\le x\le 1.$$
е) $$-\sqrt{x}\le x^2$$
Область определения: $$x\ge 0.$$
При $$x\ge 0$$ правая часть $$x^2\ge 0,$$ а левая часть $$-\sqrt{x}\le 0.$$ Следовательно, неравенство выполняется при всех $$x\ge 0.$$
$$x\in[0;+\infty).$$