Дополнительная задача 18 Глава 5 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

1. Найдите значение $$k$$, при котором наибольшее значение функции $$y=\frac{k}{x-3}$$ на отрезке: а) $$[4;7]$$ равно $$5$$; б) $$[7;17]$$ равно $$50$$; в) $$[-7;1]$$ равно $$-5$$; г) $$[4;7]$$ равно $$-5$$; д) $$[7;17]$$ равно $$-0{,}5$$; е) $$[-7;1]$$ равно $$100$$.

Рассмотрим функцию $$y=\frac{k}{x-3}.$$ Это гипербола с вертикальной асимптотой $$x=3.$$

На каждом из данных отрезков функция монотонна, поэтому наибольшее значение достигается на одном из концов отрезка.

1. а) На отрезке $$[4;7]$$ при $$k>0$$ функция убывает, значит, максимум достигается при $$x=4$$:

   $$y(4)=\frac{k}{4-3}=k.$$

   По условию $$k=5.$$

2. б) На отрезке $$[7;17]$$ при $$k>0$$ функция убывает, значит, максимум достигается при $$x=7$$:

   $$y(7)=\frac{k}{7-3}=\frac{k}{4}.$$

   Тогда

   $$\frac{k}{4}=50 \Rightarrow k=200.$$

3. в) На отрезке $$[-7;1]$$ при $$k>0$$ функция убывает, значит, максимум достигается при $$x=-7$$:

   $$y(-7)=\frac{k}{-7-3}=\frac{k}{-10}.$$

   Тогда

   $$\frac{k}{-10}=-5 \Rightarrow k=50.$$

4. г) На отрезке $$[4;7]$$ при $$k<0$$ функция возрастает, значит, максимум достигается при $$x=7$$:

   $$y(7)=\frac{k}{7-3}=\frac{k}{4}.$$

   Тогда

   $$\frac{k}{4}=-5 \Rightarrow k=-20.$$

5. д) На отрезке $$[7;17]$$ при $$k<0$$ функция возрастает, значит, максимум достигается при $$x=17$$:

   $$y(17)=\frac{k}{17-3}=\frac{k}{14}.$$

   Тогда

   $$\frac{k}{14}=-0{,}5 \Rightarrow k=-7.$$

6. е) На отрезке $$[-7;1]$$ при $$k<0$$ функция возрастает, значит, максимум достигается при $$x=1$$:

   $$y(1)=\frac{k}{1-3}=\frac{k}{-2}.$$

   Тогда

   $$\frac{k}{-2}=100 \Rightarrow k=-200.$$

Ответ

а) $$5$$; б) $$200$$; в) $$50$$; г) $$-20$$; д) $$-7$$; е) $$-200$$.