Упр.17.42 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

1. 16.42. Постройте график функции:
   а) $$y=x|x|$$;
   б) $$y=\frac{|x|}{x}+1$$;
   в) $$y=\frac{x}{|x|}$$;
   г) $$y=\frac{x^2}{|x|}$$.

Рассмотрим каждую функцию по определению модуля.

1. а) $$y=x|x|$$

   Если $$x \ge 0$$, то $$|x|=x$$, значит $$y=x^2$$.

   Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$, значит $$y=-x^2$$.

   Получаем:

   $$y= \begin{cases} x^2, & x \ge 0,\\ -x^2, & x<0. \end{cases}$$

   График состоит из правой ветви параболы $$y=x^2$$ и левой ветви параболы $$y=-x^2$$.

2. б) $$y=\dfrac{|x|}{x}+1,\quad x\ne 0$$

   Если $$x>0$$, то $$|x|=x$$, поэтому $$y=\dfrac{x}{x}+1=2$$.

   Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$, поэтому $$y=\dfrac{-x}{x}+1=0$$.

   Следовательно,

   $$y= \begin{cases} 2, & x>0,\\ 0, & x<0. \end{cases}$$

   Точки $$x=0$$ нет в области определения, поэтому на графике в этой точке ставятся пустые кружки.

3. в) $$y=\dfrac{x}{|x|},\quad x\ne 0$$

   Если $$x>0$$, то $$|x|=x$$, значит $$y=1$$.

   Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$, значит $$y=-1$$.

   Итак,

   $$y= \begin{cases} 1, & x>0,\\ -1, & x<0. \end{cases}$$

4. г) $$y=\dfrac{x^2}{|x|},\quad x\ne 0$$

   Если $$x>0$$, то $$|x|=x$$, поэтому $$y=\dfrac{x^2}{x}=x$$.

   Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$, поэтому $$y=\dfrac{x^2}{-x}=-x$$.

   Получаем:

   $$y= \begin{cases} x, & x>0,\\ -x, & x<0. \end{cases}$$

   График — две лучевые прямые, образующие букву $$V$$, без точки при $$x=0$$.

Ответ

$$\begin{aligned} &\text{а) } y= \begin{cases} x^2, & x \ge 0,\\ -x^2, & x<0; \end{cases}\\[6pt] &\text{б) } y= \begin{cases} 2, & x>0,\\ 0, & x<0; \end{cases}\\[6pt] &\text{в) } y= \begin{cases} 1, & x>0,\\ -1, & x<0; \end{cases}\\[6pt] &\text{г) } y= \begin{cases} x, & x>0,\\ -x, & x<0. \end{cases} \end{aligned}$$