Дополнительная задача 17 Глава 5 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

Найдите точки пересечения гипербол:

а) $$y=\frac{1}{x}$$ и $$y=\frac{2}{x-3}$$;

б) $$y=\frac{1}{x}$$ и $$y=\frac{3}{4-x}$$;

в) $$y=\frac{2}{x-3}$$ и $$y=\frac{3}{4-x}$$;

г) $$y=\frac{2x}{x-1}$$ и $$y=\frac{x+9}{x+1}$$;

д) $$y=\frac{2x+1}{x-1}$$ и $$y=\frac{x+10}{x+1}$$;

е) $$y=\frac{x-11}{x-2}$$ и $$y=\frac{20}{3-x}$$.

Подробный ответ

а) $$\frac{1}{x}=\frac{2}{x-3}, \quad x\ne 0,\ x\ne 3$$
$$x-3=2x$$
$$x=-3$$
$$y=\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}$$
Точка пересечения: $$(-3;\,-\frac{1}{3})$$.
б) $$\frac{1}{x}=\frac{3}{4-x}, \quad x\ne 0,\ x\ne 4$$
$$4-x=3x$$
$$4x=4$$
$$x=1$$
$$y=\frac{1}{1}=1$$
Точка пересечения: $$(1;\,1)$$.
в) $$\frac{2}{x-3}=\frac{3}{4-x}, \quad x\ne 3,\ x\ne 4$$
$$2(4-x)=3(x-3)$$
$$8-2x=3x-9$$
$$5x=17$$
$$x=\frac{17}{5}=3{,}4$$
$$y=\frac{2}{x-3}=\frac{2}{\frac{17}{5}-3}=\frac{2}{\frac{2}{5}}=5$$
Точка пересечения: $$\left(\frac{17}{5};\,5\right)$$.
г) $$\frac{2x}{x-1}=\frac{x+9}{x+1}, \quad x\ne -1,\ x\ne 1$$
$$2x(x+1)=(x+9)(x-1)$$
$$2x^2+2x=x^2+8x-9$$
$$x^2-6x+9=0$$
$$(x-3)^2=0$$
$$x=3$$
$$y=\frac{2\cdot 3}{3-1}=3$$
Точка пересечения: $$(3;\,3)$$.
д) $$\frac{2x+1}{x-1}=\frac{x+10}{x+1}, \quad x\ne -1,\ x\ne 1$$
$$(2x+1)(x+1)=(x+10)(x-1)$$
$$2x^2+3x+1=x^2+9x-10$$
$$x^2-6x+11=0$$
$$D=36-44=-8<0$$
Действительных решений нет, значит, гиперболы не пересекаются.
е) $$\frac{x-11}{x-2}=\frac{20}{3-x}, \quad x\ne 2,\ x\ne 3$$
$$(x-11)(3-x)=20(x-2)$$
$$3x-x^2-33+11x=20x-40$$
$$-x^2-6x+7=0$$
$$x^2+6x-7=0$$
$$(x-1)(x+7)=0$$
$$x=1 \text{ или } x=-7$$
Если $$x=1$$, то $$y=\frac{20}{3-1}=10$$.
Если $$x=-7$$, то $$y=\frac{20}{3-(-7)}=2$$.
Точки пересечения: $$(-7;\,2)$$ и $$(1;\,10)$$.