Упр.17.15 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

1. Постройте график функции $$y=-|x|$$. С помощью графика определите: а) при каких значениях $$x$$ $$y=-4$$; б) при каких значениях $$x$$ $$y>-4$$, $$y<-4$$; в) при каких значениях $$y$$ $$x>4$$; г) при каких значениях $$x$$ выполняется условие $$-4\leq y\leq -1$$.

Функция $$y=-|x|$$ задаёт график в виде перевёрнутой буквы «V» с вершиной в точке $$\left(0;0\right)$$.

Запишем её по частям:

$$y=-|x|=\begin{cases} x, & x<0,\\ -x, & x\ge 0. \end{cases}$$

По графику или по формуле определим нужные значения.

1. а) $$y=-4$$, если

   $$-|x|=-4 \;\Rightarrow\; |x|=4 \;\Rightarrow\; x=\pm 4.$$

2. б) $$y>-4$$, когда график расположен выше прямой $$y=-4$$:

   $$-|x|>-4 \;\Rightarrow\; |x|<4 \;\Rightarrow\; -4<x<4.$$

   $$y<-4$$, когда

   $$-|x|<-4 \;\Rightarrow\; |x|>4 \;\Rightarrow\; x<-4 \text{ или } x>4.$$

3. в) $$x>4$$ при

   $$y=-|x|,\quad |x|>4 \Rightarrow y<-4.$$

   Значит,

   $$y\in(-\infty;\,-4).$$

4. г) $$-4\le y\le -1$$. Тогда

   $$-4\le -|x|\le -1.$$

   Умножим на $$-1$$, изменив знаки неравенств:

   $$4\ge |x|\ge 1,$$

   то есть

   $$1\le |x|\le 4.$$

   Следовательно,

   $$x\in[-4;\,-1]\cup[1;\,4].$$

Ответ

а) $$x=\pm 4$$;

б) $$y>-4$$ при $$x\in(-4;\,4)$$, $$y<-4$$ при $$x\in(-\infty;\,-4)\cup(4;\,+\infty)$$;

в) $$y\in(-\infty;\,-4)$$;

г) $$x\in[-4;\,-1]\cup[1;\,4]$$.