Упр.16.99 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович 8 класс, Мнемозина: 15.106 Упростите выражение корень (1O + 8 корень (2+ корень (9 + 4 корень 2))). *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 8 mordkovich8 new/16-99 827

Преобразуем выражение:
$$ \left(\frac{6+4\sqrt2}{\sqrt2+\sqrt{6+4\sqrt2}}+\frac{6-4\sqrt2}{\sqrt2-\sqrt{6-4\sqrt2}}\right)^2. $$

Найдём значения корней:
$$ \sqrt{6+4\sqrt2}=\sqrt{4+2\sqrt2+2}=2+\sqrt2, $$
так как
$$ (2+\sqrt2)^2=6+4\sqrt2. $$
Тогда
$$ \sqrt2+\sqrt{6+4\sqrt2}=\sqrt2+2+\sqrt2=2(\sqrt2+1). $$

Аналогично:
$$ \sqrt{6-4\sqrt2}=\sqrt{4-2\sqrt2+2}=2-\sqrt2, $$
так как
$$ (2-\sqrt2)^2=6-4\sqrt2. $$
Тогда
$$ \sqrt2-\sqrt{6-4\sqrt2}=\sqrt2-(2-\sqrt2)=2(\sqrt2-1). $$

Подставим:
$$ \frac{6+4\sqrt2}{\sqrt2+\sqrt{6+4\sqrt2}}+\frac{6-4\sqrt2}{\sqrt2-\sqrt{6-4\sqrt2}} = \frac{6+4\sqrt2}{2(\sqrt2+1)}+\frac{6-4\sqrt2}{2(\sqrt2-1)}. $$
Вынесем 2 в числителях:
$$ = \frac{2(3+2\sqrt2)}{2(\sqrt2+1)}+\frac{2(3-2\sqrt2)}{2(\sqrt2-1)} = \frac{3+2\sqrt2}{\sqrt2+1}+\frac{3-2\sqrt2}{\sqrt2-1}. $$

Рационализуем дроби:
$$ \frac{3+2\sqrt2}{\sqrt2+1}=\frac{(3+2\sqrt2)(\sqrt2-1)}{(\sqrt2+1)(\sqrt2-1)}=(3+2\sqrt2)(\sqrt2-1), $$
$$ \frac{3-2\sqrt2}{\sqrt2-1}=\frac{(3-2\sqrt2)(\sqrt2+1)}{(\sqrt2-1)(\sqrt2+1)}=(3-2\sqrt2)(\sqrt2+1). $$
Складываем:
$$ (3+2\sqrt2)(\sqrt2-1)+(3-2\sqrt2)(\sqrt2+1)=2\sqrt2. $$

Тогда всё выражение равно
$$ (2\sqrt2)^2=8. $$

Ответ

$$8$$