Упр.16.97 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)
Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.
$$\frac14\,(xa^{-1}-ax^{-1})\cdot\left(\frac{a^{-1}-x^{-1}}{a^{-1}+x^{-1}}-\frac{a^{-1}+x^{-1}}{a^{-1}-x^{-1}}\right)$$
Преобразуем дроби:
$$xa^{-1}-ax^{-1}=\frac{x}{a}-\frac{a}{x}=\frac{x^2-a^2}{ax}$$
$$\frac{a^{-1}-x^{-1}}{a^{-1}+x^{-1}}=\frac{\frac1a-\frac1x}{\frac1a+\frac1x}=\frac{x-a}{x+a}$$
$$\frac{a^{-1}+x^{-1}}{a^{-1}-x^{-1}}=\frac{\frac1a+\frac1x}{\frac1a-\frac1x}=\frac{x+a}{x-a}$$Тогда
$$\frac14\cdot\frac{x^2-a^2}{ax}\cdot\left(\frac{x-a}{x+a}-\frac{x+a}{x-a}\right)$$Приведём к общему знаменателю:
$$ \frac{x-a}{x+a}-\frac{x+a}{x-a} =\frac{(x-a)^2-(x+a)^2}{(x+a)(x-a)} =\frac{-4ax}{x^2-a^2} $$Тогда
$$ \frac14\cdot\frac{x^2-a^2}{ax}\cdot\frac{-4ax}{x^2-a^2}=-1 $$$$\frac{1+ax^{-1}}{a^{-1}x^{-1}}\cdot\frac{a^{-1}}{a^{-1}x-ax^{-1}}:\frac{ax^{-1}}{x-a}\cdot x^{-2}$$
Перепишем через обычные дроби:
$$ 1+ax^{-1}=1+\frac{a}{x}=\frac{x+a}{x},\qquad a^{-1}x^{-1}=\frac1{ax} $$
$$ a^{-1}x-ax^{-1}=\frac{x}{a}-\frac{a}{x}=\frac{x^2-a^2}{ax} $$
$$ ax^{-1}=\frac{a}{x},\qquad x^{-2}=\frac1{x^2} $$Тогда
$$ \frac{\frac{x+a}{x}}{\frac1{ax}}\cdot \frac{\frac1a}{\frac{x^2-a^2}{ax}} : \frac{\frac{a}{x}}{x-a}\cdot\frac1{x^2} $$Упростим:
$$ \frac{x+a}{x}\cdot ax\cdot \frac{ax}{a(x^2-a^2)}\cdot \frac{x-a}{a/x}\cdot \frac1{x^2}=1 $$
Ответ
а) $$-1$$
б) $$1$$
