Упр.16.97 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

8 mordkovich8 new/16-97 827

1. $$\frac14\,(xa^{-1}-ax^{-1})\cdot\left(\frac{a^{-1}-x^{-1}}{a^{-1}+x^{-1}}-\frac{a^{-1}+x^{-1}}{a^{-1}-x^{-1}}\right)$$

   Преобразуем дроби:
   $$xa^{-1}-ax^{-1}=\frac{x}{a}-\frac{a}{x}=\frac{x^2-a^2}{ax}$$
   $$\frac{a^{-1}-x^{-1}}{a^{-1}+x^{-1}}=\frac{\frac1a-\frac1x}{\frac1a+\frac1x}=\frac{x-a}{x+a}$$
   $$\frac{a^{-1}+x^{-1}}{a^{-1}-x^{-1}}=\frac{\frac1a+\frac1x}{\frac1a-\frac1x}=\frac{x+a}{x-a}$$

   Тогда
   $$\frac14\cdot\frac{x^2-a^2}{ax}\cdot\left(\frac{x-a}{x+a}-\frac{x+a}{x-a}\right)$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{x-a}{x+a}-\frac{x+a}{x-a} =\frac{(x-a)^2-(x+a)^2}{(x+a)(x-a)} =\frac{-4ax}{x^2-a^2}$$

   Тогда
   $$\frac14\cdot\frac{x^2-a^2}{ax}\cdot\frac{-4ax}{x^2-a^2}=-1$$

2. $$\frac{1+ax^{-1}}{a^{-1}x^{-1}}\cdot\frac{a^{-1}}{a^{-1}x-ax^{-1}}:\frac{ax^{-1}}{x-a}\cdot x^{-2}$$

   Перепишем через обычные дроби:
   $$1+ax^{-1}=1+\frac{a}{x}=\frac{x+a}{x},\qquad a^{-1}x^{-1}=\frac1{ax}$$
   $$a^{-1}x-ax^{-1}=\frac{x}{a}-\frac{a}{x}=\frac{x^2-a^2}{ax}$$
   $$ax^{-1}=\frac{a}{x},\qquad x^{-2}=\frac1{x^2}$$

   Тогда
   $$\frac{\frac{x+a}{x}}{\frac1{ax}}\cdot \frac{\frac1a}{\frac{x^2-a^2}{ax}} : \frac{\frac{a}{x}}{x-a}\cdot\frac1{x^2}$$

   Упростим:
   $$\frac{x+a}{x}\cdot ax\cdot \frac{ax}{a(x^2-a^2)}\cdot \frac{x-a}{a/x}\cdot \frac1{x^2}=1$$

Ответ

а) $$-1$$
б) $$1$$