Упр.16.94 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович 8 класс, Мнемозина: 15.98. Сравните значения числовых выражений А и В:

1. а)

   $$A=\frac{1}{3\sqrt{3}-5}+\frac{1}{3\sqrt{3}+5}$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$A=\frac{3\sqrt{3}+5+3\sqrt{3}-5}{(3\sqrt{3}-5)(3\sqrt{3}+5)}$$
   $$A=\frac{6\sqrt{3}}{(3\sqrt{3})^2-5^2}=\frac{6\sqrt{3}}{27-25}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}=\sqrt{27}.$$

   Так как $$\sqrt{27}<\sqrt{30},$$ то $$A<B.$$

2. б)

   $$A=\frac{2}{4+2\sqrt{5}}-\frac{2}{4-2\sqrt{5}}$$

   $$A=\frac{2(4-2\sqrt{5})-2(4+2\sqrt{5})}{(4+2\sqrt{5})(4-2\sqrt{5})}$$
   $$A=\frac{8-4\sqrt{5}-8-4\sqrt{5}}{16-(2\sqrt{5})^2}=\frac{-8\sqrt{5}}{16-20}=\frac{-8\sqrt{5}}{-4}=2\sqrt{5}=\sqrt{20}.$$

   Так как $$\sqrt{20}<\sqrt{24},$$ то $$A<B.$$

3. в)

   $$A=\frac{3}{2\sqrt{6}-3}+\frac{3}{2\sqrt{6}+3}$$

   $$A=\frac{3(2\sqrt{6}+3)+3(2\sqrt{6}-3)}{(2\sqrt{6}-3)(2\sqrt{6}+3)}$$
   $$A=\frac{6\sqrt{6}+9+6\sqrt{6}-9}{(2\sqrt{6})^2-3^2}=\frac{12\sqrt{6}}{24-9}=\frac{12\sqrt{6}}{15}=\frac{4\sqrt{6}}{5}=\sqrt{\frac{96}{25}}.$$

   Поскольку $$\sqrt{\frac{96}{25}}>\sqrt{3},$$ то $$A>B.$$

4. г)

   $$A=\frac{1}{2+3\sqrt{2}}-\frac{1}{2-3\sqrt{2}}$$

   $$A=\frac{2-3\sqrt{2}-2-3\sqrt{2}}{(2+3\sqrt{2})(2-3\sqrt{2})}$$
   $$A=\frac{-6\sqrt{2}}{4-(3\sqrt{2})^2}=\frac{-6\sqrt{2}}{4-18}=\frac{-6\sqrt{2}}{-14}=\frac{3\sqrt{2}}{7}=\sqrt{\frac{18}{49}}.$$

   Так как $$\sqrt{\frac{18}{49}}<\sqrt{2},$$ то $$A<B.$$

Ответ

а) $$A<B$$; б) $$A<B$$; в) $$A>B$$; г) $$A<B$$.