Упр.16.92 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Подробный ответ

а)
$$\left(\frac{\sqrt a}{\sqrt a+\sqrt b}+\frac{\sqrt b}{\sqrt a-\sqrt b}\right)\cdot\left(\sqrt a+\sqrt b-\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt a+\sqrt b}\right)^{-1}$$
Приведём первую скобку к общему знаменателю:
$$\frac{\sqrt a(\sqrt a-\sqrt b)+\sqrt b(\sqrt a+\sqrt b)}{(\sqrt a+\sqrt b)(\sqrt a-\sqrt b)}=\frac{a-\sqrt{ab}+\sqrt{ab}+b}{a-b}=\frac{a+b}{a-b}.$$
Вторую скобку преобразуем:
$$\sqrt a+\sqrt b-\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt a+\sqrt b}=\frac{(\sqrt a+\sqrt b)^2-2\sqrt{ab}}{\sqrt a+\sqrt b}=\frac{a+2\sqrt{ab}+b-2\sqrt{ab}}{\sqrt a+\sqrt b}=\frac{a+b}{\sqrt a+\sqrt b}.$$
Тогда
$$\frac{a+b}{a-b}\cdot\left(\frac{a+b}{\sqrt a+\sqrt b}\right)^{-1} =\frac{a+b}{a-b}\cdot\frac{\sqrt a+\sqrt b}{a+b} =\frac{\sqrt a+\sqrt b}{a-b}.$$
Так как $$a-b=(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b),$$ то
$$\frac{\sqrt a+\sqrt b}{a-b}=\frac{1}{\sqrt a-\sqrt b}.$$
б)
$$\left(\sqrt c-\sqrt d+\frac{2\sqrt{cd}}{\sqrt c-\sqrt d}\right)^{-1}\cdot\left(\frac{\sqrt c+\sqrt d}{\sqrt c-\sqrt d}-\frac{\sqrt d}{\sqrt c}\right)$$
Преобразуем первую скобку:
$$\sqrt c-\sqrt d+\frac{2\sqrt{cd}}{\sqrt c-\sqrt d} =\frac{(\sqrt c-\sqrt d)^2+2\sqrt{cd}}{\sqrt c-\sqrt d} =\frac{c-2\sqrt{cd}+d+2\sqrt{cd}}{\sqrt c-\sqrt d} =\frac{c+d}{\sqrt c-\sqrt d}.$$
Тогда
$$\left(\frac{c+d}{\sqrt c-\sqrt d}\right)^{-1}=\frac{\sqrt c-\sqrt d}{c+d}.$$
Вторую скобку приводим к общему знаменателю:
$$\frac{\sqrt c+\sqrt d}{\sqrt c-\sqrt d}-\frac{\sqrt d}{\sqrt c} =\frac{\sqrt c(\sqrt c+\sqrt d)-\sqrt d(\sqrt c-\sqrt d)}{\sqrt c(\sqrt c-\sqrt d)} =\frac{c+\sqrt{cd}-\sqrt{cd}+d}{\sqrt c(\sqrt c-\sqrt d)} =\frac{c+d}{\sqrt c(\sqrt c-\sqrt d)}.$$
Тогда
$$\frac{\sqrt c-\sqrt d}{c+d}\cdot\frac{c+d}{\sqrt c(\sqrt c-\sqrt d)}=\frac{1}{\sqrt c}.$$