Упр.16.90 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

15.92

1. а)
   $$\left(\frac{\sqrt m}{n-\sqrt{mn}}+\frac{\sqrt n}{m-\sqrt{mn}}\right)\cdot \frac{\sqrt{mn}}{\sqrt n+\sqrt m}$$

   Преобразуем знаменатели:
   $$n-\sqrt{mn}=\sqrt n(\sqrt n-\sqrt m), \qquad m-\sqrt{mn}=\sqrt m(\sqrt m-\sqrt n).$$

   Тогда
   $$ \frac{\sqrt m}{\sqrt n(\sqrt n-\sqrt m)}+\frac{\sqrt n}{\sqrt m(\sqrt m-\sqrt n)} = \frac{\sqrt m}{\sqrt n(\sqrt n-\sqrt m)}-\frac{\sqrt n}{\sqrt m(\sqrt n-\sqrt m)}. $$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$ \frac{m-n}{\sqrt{mn}(\sqrt n-\sqrt m)}. $$

   Умножаем на $$\frac{\sqrt{mn}}{\sqrt n+\sqrt m}$$:
   $$ \frac{m-n}{\sqrt n-\sqrt m}\cdot \frac{1}{\sqrt n+\sqrt m}. $$

   Так как $$m-n=(\sqrt m-\sqrt n)(\sqrt m+\sqrt n)=-(\sqrt n-\sqrt m)(\sqrt n+\sqrt m),$$
   получаем
   $$ -1. $$

2. б)
   $$\left(\frac{\sqrt a}{\sqrt a-\sqrt b}-\frac{\sqrt b}{\sqrt a+\sqrt b}\right)\cdot \frac{a-b}{a^2+ab}$$

   Заметим, что
   $$a^2+ab=a(a+b).$$

   Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:
   $$ \frac{\sqrt a(\sqrt a+\sqrt b)-\sqrt b(\sqrt a-\sqrt b)}{(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)} = \frac{a+\sqrt{ab}-\sqrt{ab}+b}{a-b} = \frac{a+b}{a-b}. $$

   Тогда
   $$ \frac{a+b}{a-b}\cdot \frac{a-b}{a(a+b)}=\frac1a. $$

3. в)
   $$\left(\frac1{\sqrt y}-\frac2{\sqrt x+\sqrt y}\right):\left(\sqrt x-\frac{x+y}{\sqrt x+\sqrt y}\right)$$

   Преобразуем обе части:
   $$ \frac1{\sqrt y}-\frac2{\sqrt x+\sqrt y} = \frac{\sqrt x+\sqrt y-2\sqrt y}{\sqrt y(\sqrt x+\sqrt y)} = \frac{\sqrt x-\sqrt y}{\sqrt y(\sqrt x+\sqrt y)}. $$

   И
   $$ \sqrt x-\frac{x+y}{\sqrt x+\sqrt y} = \frac{\sqrt x(\sqrt x+\sqrt y)-x-y}{\sqrt x+\sqrt y} = \frac{\sqrt{xy}-y}{\sqrt x+\sqrt y} = \frac{\sqrt y(\sqrt x-\sqrt y)}{\sqrt x+\sqrt y}. $$

   Тогда
   $$ \frac{\sqrt x-\sqrt y}{\sqrt y(\sqrt x+\sqrt y)}:\frac{\sqrt y(\sqrt x-\sqrt y)}{\sqrt x+\sqrt y} = \frac1y. $$

4. г)
   $$\frac{z+2\sqrt z}{\sqrt z-2}:\left(\frac{\sqrt z}{\sqrt z-2}-\frac{z-12}{z-4}-\frac4{z+2\sqrt z}\right)$$

   Разложим знаменатели:
   $$ z-4=(\sqrt z-2)(\sqrt z+2), \qquad z+2\sqrt z=\sqrt z(\sqrt z+2). $$

   Тогда выражение в скобках:
   $$ \frac{\sqrt z}{\sqrt z-2}-\frac{z-12}{(\sqrt z-2)(\sqrt z+2)}-\frac4{\sqrt z(\sqrt z+2)}. $$

   После приведения к общему знаменателю получаем:
   $$ \frac{2(\sqrt z+2)^2}{\sqrt z(\sqrt z-2)(\sqrt z+2)}. $$

   А числитель первой дроби:
   $$ z+2\sqrt z=\sqrt z(\sqrt z+2). $$

   Поэтому
   $$ \frac{\sqrt z(\sqrt z+2)}{\sqrt z-2}:\frac{2(\sqrt z+2)^2}{\sqrt z(\sqrt z-2)(\sqrt z+2)} = \frac z2. $$

Ответ

а) $$-1$$;
б) $$\frac1a$$;
в) $$\frac1y$$;
г) $$\frac z2$$.