Упр.16.9 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

Упростите выражение: а) $$\frac{2-a}{5}+\left(\frac{1}{1-2a}\right)^2:\left(\frac{a+2}{4a^3-4a^2+a}-\frac{2-a}{1-8a^3}\cdot\frac{4a^2+2a+1}{2a^2+a}\right)$$; б) $$\left(\frac{b^2-2b+4}{4b^2-1}\cdot\frac{2b^2+b}{b^3+8}-\frac{b+2}{2b^2-b}\right):\frac{4}{b^2+2b}-\frac{b+4}{3-6b}$$.

Подробный ответ

а) Упростим по действиям:

$$\frac{2-a}{1-8a^3}\cdot \frac{4a^2+2a+1}{2a^2+a} = \frac{2-a}{(1-2a)(1+2a+4a^2)}\cdot \frac{4a^2+2a+1}{a(2a+1)} = \frac{2-a}{a(1-2a)(1+2a)}.$$

$$\frac{a+2}{4a^3-4a^2+a}-\frac{2-a}{a(1-2a)(1+2a)} = \frac{a+2}{a(1-2a)^2}-\frac{2-a}{a(1-2a)(1+2a)}.$$

Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{(a+2)(1+2a)-(2-a)(1-2a)}{a(1-2a)^2(1+2a)} = \frac{10a}{a(1-2a)^2(1+2a)} = \frac{10}{(1-2a)^2(1+2a)}.$$

Тогда
$$\left(\frac{1}{1-2a}\right)^2 : \frac{10}{(1-2a)^2(1+2a)} = \frac{1}{(1-2a)^2}\cdot \frac{(1-2a)^2(1+2a)}{10} = \frac{1+2a}{10}.$$

И всё выражение равно
$$\frac{2-a}{5}+\frac{1+2a}{10} = \frac{2(2-a)+1+2a}{10} = \frac{5}{10} = \frac12.$$

б) Сначала упростим произведение:

$$\frac{b^2-2b+4}{4b^2-1}\cdot \frac{2b^2+b}{b^3+8} = \frac{b^2-2b+4}{(2b-1)(2b+1)}\cdot \frac{b(2b+1)}{(b+2)(b^2-2b+4)} = \frac{b}{(2b-1)(b+2)}.$$

Тогда
$$\frac{b}{(2b-1)(b+2)}-\frac{b+2}{2b^2-b} = \frac{b}{(2b-1)(b+2)}-\frac{b+2}{b(2b-1)}.$$

Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{b^2-(b+2)^2}{b(2b-1)(b+2)} = \frac{-4b-4}{b(2b-1)(b+2)} = -\frac{4(b+1)}{b(2b-1)(b+2)}.$$

Делим на
$$\frac{4}{b^2+2b}=\frac{4}{b(b+2)}:$$