Упр.16.89 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович 8 класс, Мнемозина: 15.91. Докажите тождество:

а)

$$ \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{b}-\sqrt{a}}+\frac{2a}{a-b} $$
Приведём к общему знаменателю:
$$ \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}+\frac{2a}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})} $$
$$ = \frac{\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})-2\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})+2a}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})} $$
$$ = \frac{\sqrt{ab}-b-2a-2\sqrt{ab}+2a}{a-b} = \frac{-\sqrt{ab}-b}{a-b} $$
$$ = \frac{-\sqrt{b}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{-\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}-\sqrt{a}}. $$

Следовательно, тождество верно.

б)

$$ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}+\frac{2\sqrt{ab}}{b-a} $$
$$ = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\frac{2\sqrt{ab}}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})} $$
$$ = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})+\sqrt{b}(\sqrt{a}+\sqrt{b})-2\sqrt{ab}}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})} $$
$$ = \frac{a-\sqrt{ab}+\sqrt{ab}+b-2\sqrt{ab}}{a-b} = \frac{a-2\sqrt{ab}+b}{a-b} $$
$$ = \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}. $$

Следовательно, тождество верно.

Ответ

а) $$\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}-\sqrt{a}}$$; б) $$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$$.