Упр.16.87 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

б) Докажите, что (корень 2 — 1)2 =3-2 корень 2. Можно ли на основании этого утверждать, что корень (3 — 2 корень 2) = корень 2 — 1?

а) Проверим равенство:

$$ (1-\sqrt{2})^2=1-2\sqrt{2}+2=3-2\sqrt{2}. $$

Значит, действительно,

$$ (1-\sqrt{2})^2=3-2\sqrt{2}. $$

Но из этого нельзя сразу утверждать, что

$$ \sqrt{3-2\sqrt{2}}=1-\sqrt{2}, $$

так как квадратный корень не может быть отрицательным, а

$$ 1-\sqrt{2}<0. $$

Поэтому

$$ \sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{(1-\sqrt{2})^2}=|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1. $$

б) Проверим равенство:

$$ (\sqrt{2}-1)^2=2-2\sqrt{2}+1=3-2\sqrt{2}. $$

Следовательно,

$$ (\sqrt{2}-1)^2=3-2\sqrt{2}. $$

Теперь можно утверждать, что

$$ \sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{(\sqrt{2}-1)^2}=|\sqrt{2}-1|. $$

Так как $$\sqrt{2}-1>0,$$ то

$$ \sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1. $$

Ответ

а) Да, равенство верно, но утверждать, что $$\sqrt{3-2\sqrt{2}}=1-\sqrt{2},$$ нельзя; на самом деле $$\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1.$$

б) Да, можно утверждать, что $$\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1.$$