Упр.16.87 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

1. а) Докажите, что $$\left(1-\sqrt{2}\right)^2=3-2\sqrt{2}$$. Можно ли на основании этого утверждать, что $$\sqrt{3-2\sqrt{2}}=1-\sqrt{2}$$?
   б) Докажите, что $$\left(\sqrt{2}-1\right)^2=3-2\sqrt{2}$$. Можно ли на основании этого утверждать, что $$\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$$?

а) Проверим равенство:

$$(1-\sqrt{2})^2=1-2\sqrt{2}+2=3-2\sqrt{2}.$$

Значит, действительно,

$$(1-\sqrt{2})^2=3-2\sqrt{2}.$$

Но из этого нельзя сразу утверждать, что

$$\sqrt{3-2\sqrt{2}}=1-\sqrt{2},$$

так как квадратный корень не может быть отрицательным, а

$$1-\sqrt{2}<0.$$

Поэтому

$$\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{(1-\sqrt{2})^2}=|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1.$$

б) Проверим равенство:

$$(\sqrt{2}-1)^2=2-2\sqrt{2}+1=3-2\sqrt{2}.$$

Следовательно,

$$(\sqrt{2}-1)^2=3-2\sqrt{2}.$$

Теперь можно утверждать, что

$$\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{(\sqrt{2}-1)^2}=|\sqrt{2}-1|.$$

Так как $$\sqrt{2}-1>0,$$ то

$$\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1.$$

Ответ

а) Да, равенство верно, но утверждать, что $$\sqrt{3-2\sqrt{2}}=1-\sqrt{2},$$ нельзя; на самом деле $$\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1.$$

б) Да, можно утверждать, что $$\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1.$$