Упр.16.75 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович 8 класс, Мнемозина: 15.75 Докажите тождество:

а)

$$ \frac{4\sqrt{ab}}{a-4b}+\frac{\sqrt a-2\sqrt b}{\sqrt a+2\sqrt b} = \frac{4\sqrt{ab}}{(\sqrt a-2\sqrt b)(\sqrt a+2\sqrt b)}+\frac{\sqrt a-2\sqrt b}{\sqrt a+2\sqrt b} $$

$$ = \frac{4\sqrt{ab}+(\sqrt a-2\sqrt b)^2}{(\sqrt a-2\sqrt b)(\sqrt a+2\sqrt b)} $$

$$ = \frac{4\sqrt{ab}+a-4\sqrt{ab}+4b}{a-4b} = \frac{a+4b}{a-4b} $$

Следовательно,
$$ \frac{4\sqrt{ab}}{a-4b}+\frac{\sqrt a-2\sqrt b}{\sqrt a+2\sqrt b} = \frac{a+4b}{a-4b}. $$
Тождество верно.

б)

$$ \frac{2\sqrt a-3\sqrt b}{2\sqrt a+3\sqrt b}+\frac{12\sqrt{ab}}{9b-4a} = \frac{4a+9b}{4a-9b} $$

Так как $$9b-4a=-(4a-9b),$$ то
$$ \frac{2\sqrt a-3\sqrt b}{2\sqrt a+3\sqrt b}-\frac{12\sqrt{ab}}{4a-9b} = \frac{4a+9b}{4a-9b}. $$

Приведём левую часть к общему знаменателю:
$$ \frac{(2\sqrt a-3\sqrt b)^2-12\sqrt{ab}}{(2\sqrt a+3\sqrt b)(2\sqrt a-3\sqrt b)} $$

$$ = \frac{4a-12\sqrt{ab}+9b-12\sqrt{ab}}{4a-9b} = \frac{4a+9b}{4a-9b}. $$

Следовательно, тождество верно.

Ответ

а) $$\frac{a+4b}{a-4b}$$; б) тождество верно.