Упр.16.7 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
- Докажите тождество:
а) $$\left(\frac{y^2+9}{27-3y^2}+\frac{y}{3y+9}-\frac{3}{y^2-3y}\right):\frac{(3y+9)^2}{3y^2-y^3}=\frac{y}{9y+27};$$
б) $$\left(\frac{z}{z-2}-\frac{z^2}{z^3+8}\cdot\frac{z^2+2z}{z-2}\right):\frac{8}{z^2-2z+4}+\frac{z^2+z-2}{2z+4}=\frac{z-2}{4}.$$
а) Преобразуем левую часть:
$$\left(\frac{y^2+9}{27-3y^2}+\frac{y}{3y+9}-\frac{3}{y^2-3y}\right):\frac{(3y+9)^2}{3y^2-y^3}$$
$$\frac{y^2+9}{27-3y^2}+\frac{y}{3y+9}-\frac{3}{y^2-3y} = \frac{y^2+9}{3(3-y)(3+y)}+\frac{y}{3(y+3)}-\frac{3}{y(y-3)}$$
$$= \frac{y^2+9}{3(3-y)(3+y)}+\frac{y(3-y)(3+y)}{3y(3-y)(3+y)}-\frac{9(3+y)}{3y(3-y)(3+y)}$$
$$= \frac{y^3+9y+3y^2-y^3+27+9y}{3y(3-y)(3+y)} = \frac{3y^2+18y+27}{3y(3-y)(3+y)}$$
$$= \frac{3(y^2+6y+9)}{3y(3-y)(3+y)} = \frac{(y+3)^2}{y(3-y)(3+y)} = \frac{y+3}{y(3-y)}$$
Теперь делим на дробь:
$$\frac{y+3}{y(3-y)}:\frac{(3y+9)^2}{3y^2-y^3} = \frac{y+3}{y(3-y)}\cdot\frac{3y^2-y^3}{(3y+9)^2}$$
$$= \frac{y+3}{y(3-y)}\cdot\frac{y^2(3-y)}{9(y+3)^2} = \frac{y}{9(y+3)} = \frac{y}{9y+27}$$
Следовательно, тождество верно.
б) Преобразуем левую часть:
$$\left(\frac{z}{z-2}-\frac{z^2}{z^3+8}\cdot\frac{z^2+2z}{z-2}\right):\frac{8}{z^2-2z+4}+\frac{z^2+z-2}{2z+4}$$
Так как
$$z^3+8=(z+2)(z^2-2z+4), \qquad z^2+2z=z(z+2),$$
то
$$\frac{z^2}{z^3+8}\cdot\frac{z^2+2z}{z-2} = \frac{z^2\cdot z(z+2)}{(z+2)(z^2-2z+4)(z-2)} = \frac{z^3}{(z-2)(z^2-2z+4)}.$$
Тогда
$$\frac{z}{z-2}-\frac{z^3}{(z-2)(z^2-2z+4)} = \frac{z(z^2-2z+4)-z^3}{(z-2)(z^2-2z+4)} = \frac{-2z^2+4z}{(z-2)(z^2-2z+4)}$$
$$= \frac{-2z(z-2)}{(z-2)(z^2-2z+4)} = \frac{-2z}{z^2-2z+4}.$$
Делим на дробь:
$$\frac{-2z}{z^2-2z+4}:\frac{8}{z^2-2z+4} = \frac{-2z}{z^2-2z+4}\cdot\frac{z^2-2z+4}{8} = -\frac{z}{4}.$$
Теперь прибавим вторую дробь:
$$-\frac{z}{4}+\frac{z^2+z-2}{2z+4} = -\frac{z}{4}+\frac{z^2+z-2}{2(z+2)}.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$-\frac{z}{4}+\frac{z^2+z-2}{2(z+2)} = \frac{-z(z+2)+2(z^2+z-2)}{4(z+2)}$$
$$= \frac{-z^2-2z+2z^2+2z-4}{4(z+2)} = \frac{z^2-4}{4(z+2)} = \frac{(z-2)(z+2)}{4(z+2)} = \frac{z-2}{4}.$$
Следовательно, тождество верно.
Ответ
а) $$\frac{y}{9y+27}$$;
б) $$\frac{z-2}{4}$$.
