Упр.16.6 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

а) ((b + 7)/(7b — 1) + (b + 7)/(b + 1)) : (b^2 + 7b)/(1 — 7b) + (b^2 + 7)/(b + 1) = b -1;
б) (a^2 — 14)/(4 — a) — (7a — 4)/(9a — 3a^2) · ((a — 3)/(7a — 4) — (a — 3)/(a — 4)) = -a — 4.

Подробный ответ

а) Преобразуем левую часть:

$$ \left(\frac{b+7}{7b-1}+\frac{b+7}{b+1}\right):\frac{b^2+7b}{1-7b}+\frac{b^2+7}{b+1} $$

Сначала сложим дроби в скобках:
$$ \frac{b+7}{7b-1}+\frac{b+7}{b+1} = \frac{(b+7)(b+1)+(b+7)(7b-1)}{(7b-1)(b+1)} $$
$$ = \frac{(b+7)\bigl((b+1)+(7b-1)\bigr)}{(7b-1)(b+1)} = \frac{(b+7)\cdot 8b}{(7b-1)(b+1)} $$
$$ = \frac{8b(b+7)}{(7b-1)(b+1)}. $$

Теперь выполним деление:
$$ \frac{8b(b+7)}{(7b-1)(b+1)}:\frac{b^2+7b}{1-7b} = \frac{8b(b+7)}{(7b-1)(b+1)}\cdot\frac{1-7b}{b^2+7b}. $$
Так как
$$ b^2+7b=b(b+7), \qquad 1-7b=-(7b-1), $$
то
$$ \frac{8b(b+7)}{(7b-1)(b+1)}\cdot\frac{1-7b}{b^2+7b} = \frac{8b(b+7)}{(7b-1)(b+1)}\cdot\frac{-(7b-1)}{b(b+7)} = -\frac{8}{b+1}. $$

Тогда вся левая часть равна:
$$ -\frac{8}{b+1}+\frac{b^2+7}{b+1} = \frac{b^2-1}{b+1} = \frac{(b-1)(b+1)}{b+1} = b-1. $$

б) Преобразуем левую часть:
$$ \frac{a^2-14}{4-a}-\frac{7a-4}{9a-3a^2}\left(\frac{a-3}{7a-4}-\frac{a-3}{a-4}\right). $$

Сначала вычислим разность в скобках:
$$ \frac{a-3}{7a-4}-\frac{a-3}{a-4} = \frac{(a-3)(a-4)-(a-3)(7a-4)}{(7a-4)(a-4)} $$
$$ = \frac{(a-3)\bigl((a-4)-(7a-4)\bigr)}{(7a-4)(a-4)} = \frac{(a-3)(-6a)}{(7a-4)(a-4)} = -\frac{6a(a-3)}{(7a-4)(a-4)}. $$

Теперь умножим:
$$ \frac{7a-4}{9a-3a^2}\cdot\left(-\frac{6a(a-3)}{(7a-4)(a-4)}\right). $$
Так как
$$ 9a-3a^2=3a(3-a), $$
то
$$ \frac{7a-4}{9a-3a^2}\cdot\left(-\frac{6a(a-3)}{(7a-4)(a-4)}\right) = \frac{2}{a-4}. $$

Тогда левая часть равна:
$$ \frac{a^2-14}{4-a}-\frac{2}{a-4}. $$
Поскольку
$$ 4-a=-(a-4), $$
получаем
$$ \frac{a^2-14}{4-a}-\frac{2}{a-4} = -\frac{a^2-14}{a-4}-\frac{2}{a-4} = -\frac{a^2-12}{a-4}. $$

Здесь видно, что полученное выражение не совпадает с правой частью $$-a-4$$. Значит, в условии есть опечатка.