Упр.16.6 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

Докажите тождество:

а) $$\left(\frac{b+7}{7b-1}+\frac{b+7}{b+1}\right):\frac{b^2+7b}{1-7b}+\frac{b^2+7}{b+1}=b-1$$;

б) $$\frac{a^2-14}{4-a}-\frac{7a-4}{9a-3a^2}\cdot\left(\frac{a-3}{7a-4}-\frac{a-3}{a-4}\right)=-a-4$$.

Подробный ответ

а) Преобразуем левую часть:

$$\left(\frac{b+7}{7b-1}+\frac{b+7}{b+1}\right):\frac{b^2+7b}{1-7b}+\frac{b^2+7}{b+1}$$

Сначала сложим дроби в скобках:
$$\frac{b+7}{7b-1}+\frac{b+7}{b+1} = \frac{(b+7)(b+1)+(b+7)(7b-1)}{(7b-1)(b+1)}$$
$$= \frac{(b+7)\bigl((b+1)+(7b-1)\bigr)}{(7b-1)(b+1)} = \frac{(b+7)\cdot 8b}{(7b-1)(b+1)}$$
$$= \frac{8b(b+7)}{(7b-1)(b+1)}.$$

Теперь выполним деление:
$$\frac{8b(b+7)}{(7b-1)(b+1)}:\frac{b^2+7b}{1-7b} = \frac{8b(b+7)}{(7b-1)(b+1)}\cdot\frac{1-7b}{b^2+7b}.$$
Так как
$$b^2+7b=b(b+7), \qquad 1-7b=-(7b-1),$$
то
$$\frac{8b(b+7)}{(7b-1)(b+1)}\cdot\frac{1-7b}{b^2+7b} = \frac{8b(b+7)}{(7b-1)(b+1)}\cdot\frac{-(7b-1)}{b(b+7)} = -\frac{8}{b+1}.$$

Тогда вся левая часть равна:
$$-\frac{8}{b+1}+\frac{b^2+7}{b+1} = \frac{b^2-1}{b+1} = \frac{(b-1)(b+1)}{b+1} = b-1.$$

б) Преобразуем левую часть:
$$\frac{a^2-14}{4-a}-\frac{7a-4}{9a-3a^2}\left(\frac{a-3}{7a-4}-\frac{a-3}{a-4}\right).$$

Сначала вычислим разность в скобках:
$$\frac{a-3}{7a-4}-\frac{a-3}{a-4} = \frac{(a-3)(a-4)-(a-3)(7a-4)}{(7a-4)(a-4)}$$
$$= \frac{(a-3)\bigl((a-4)-(7a-4)\bigr)}{(7a-4)(a-4)} = \frac{(a-3)(-6a)}{(7a-4)(a-4)} = -\frac{6a(a-3)}{(7a-4)(a-4)}.$$

Теперь умножим:
$$\frac{7a-4}{9a-3a^2}\cdot\left(-\frac{6a(a-3)}{(7a-4)(a-4)}\right).$$
Так как
$$9a-3a^2=3a(3-a),$$
то
$$\frac{7a-4}{9a-3a^2}\cdot\left(-\frac{6a(a-3)}{(7a-4)(a-4)}\right) = \frac{2}{a-4}.$$

Тогда левая часть равна:
$$\frac{a^2-14}{4-a}-\frac{2}{a-4}.$$
Поскольку
$$4-a=-(a-4),$$
получаем
$$\frac{a^2-14}{4-a}-\frac{2}{a-4} = -\frac{a^2-14}{a-4}-\frac{2}{a-4} = -\frac{a^2-12}{a-4}.$$

Здесь видно, что полученное выражение не совпадает с правой частью $$-a-4$$. Значит, в условии есть опечатка.