Упр.16.5 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

а) (1/(x + y) + 1/(x — y))/(1/(x — y) — 1/(x + y)) = x/y;
б) (1/(x — 3) + (5 — x)/(x^2 — 3x))/(2/(x — 3) — (2x — 3)/(x^2 — 3x)) = -2/3;
в) (1/(x + y) — 1/(x — y))/(1/(x — y) — 1/(x + y)) = -y/x;
г) (4/x — (x — 4)/(x^2 — x))/(5/x — (x — 5)/(x^2 — x)) = 3/4.

Подробный ответ

а)
$$\frac{\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x-y}}{\frac{1}{x-y}-\frac{1}{x+y}}$$
Приведём дроби в числителе и знаменателе к общему знаменателю:
$$ \frac{1}{x+y}+\frac{1}{x-y} =\frac{x-y+x+y}{(x+y)(x-y)} =\frac{2x}{x^2-y^2} $$
$$ \frac{1}{x-y}-\frac{1}{x+y} =\frac{x+y-(x-y)}{(x+y)(x-y)} =\frac{2y}{x^2-y^2} $$
Тогда
$$ \frac{\frac{2x}{x^2-y^2}}{\frac{2y}{x^2-y^2}}=\frac{x}{y}. $$
б)
$$\frac{\frac{1}{x-3}+\frac{5-x}{x^2-3x}}{\frac{2}{x-3}-\frac{2x-3}{x^2-3x}}$$
Так как $$x^2-3x=x(x-3),$$ получаем:
$$ \frac{1}{x-3}+\frac{5-x}{x^2-3x} =\frac{x}{x(x-3)}+\frac{5-x}{x(x-3)} =\frac{5}{x(x-3)} $$
$$ \frac{2}{x-3}-\frac{2x-3}{x^2-3x} =\frac{2x}{x(x-3)}-\frac{2x-3}{x(x-3)} =\frac{3}{x(x-3)} $$
Тогда
$$ \frac{\frac{5}{x(x-3)}}{\frac{3}{x(x-3)}}=\frac{5}{3}. $$
Следовательно, в условии, вероятно, опечатка: левая часть равна $$\frac{5}{3},$$ а не $$-\frac{2}{3}.$$
в)
$$\frac{\frac{1}{x+y}-\frac{1}{x-y}}{\frac{1}{x-y}-\frac{1}{x+y}}$$
Преобразуем числитель:
$$ \frac{1}{x+y}-\frac{1}{x-y} =\frac{x-y-(x+y)}{(x+y)(x-y)} =\frac{-2y}{x^2-y^2} $$
Знаменатель:
$$ \frac{1}{x-y}-\frac{1}{x+y} =\frac{x+y-(x-y)}{(x+y)(x-y)} =\frac{2y}{x^2-y^2} $$
Тогда
$$ \frac{\frac{-2y}{x^2-y^2}}{\frac{2y}{x^2-y^2}}=-1. $$
Значит, в задании, вероятно, опечатка: левая часть равна $$-1,$$ а не $$-\frac{y}{x}.$$
г)
$$\frac{\frac{4}{x}-\frac{x-4}{x^2-x}}{\frac{5}{x}-\frac{x-5}{x^2-x}}$$
Так как $$x^2-x=x(x-1),$$ имеем:
$$ \frac{4}{x}-\frac{x-4}{x^2-x} =\frac{4(x-1)-(x-4)}{x(x-1)} =\frac{3x}{x(x-1)} =\frac{3}{x-1} $$
$$ \frac{5}{x}-\frac{x-5}{x^2-x} =\frac{5(x-1)-(x-5)}{x(x-1)} =\frac{4x}{x(x-1)} =\frac{4}{x-1} $$
Тогда
$$ \frac{\frac{3}{x-1}}{\frac{4}{x-1}}=\frac{3}{4}. $$