Упр.16.5 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

1. Докажите тождество:
   а) $$\frac{\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x-y}}{\frac{1}{x-y}-\frac{1}{x+y}}=\frac{x}{y}$$;
   б) $$\frac{\frac{1}{x-3}+\frac{5-x}{x^2-3x}}{\frac{2}{x-3}-\frac{2x-3}{x^2-3x}}=-\frac{2}{3}$$;
   в) $$\frac{\frac{1}{x+y}-\frac{1}{x-y}}{\frac{1}{x-y}-\frac{1}{x+y}}=-\frac{y}{x}$$;
   г) $$\frac{\frac{4}{x}-\frac{x-4}{x^2-x}}{\frac{5}{x}-\frac{x-5}{x^2-x}}=\frac{3}{4}$$.

1. а)

   $$\frac{\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x-y}}{\frac{1}{x-y}-\frac{1}{x+y}}$$

   Приведём дроби в числителе и знаменателе к общему знаменателю:

   $$\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x-y} =\frac{x-y+x+y}{(x+y)(x-y)} =\frac{2x}{x^2-y^2}$$

   $$\frac{1}{x-y}-\frac{1}{x+y} =\frac{x+y-(x-y)}{(x+y)(x-y)} =\frac{2y}{x^2-y^2}$$

   Тогда
   $$\frac{\frac{2x}{x^2-y^2}}{\frac{2y}{x^2-y^2}}=\frac{x}{y}.$$

2. б)

   $$\frac{\frac{1}{x-3}+\frac{5-x}{x^2-3x}}{\frac{2}{x-3}-\frac{2x-3}{x^2-3x}}$$

   Так как $$x^2-3x=x(x-3),$$ получаем:

   $$\frac{1}{x-3}+\frac{5-x}{x^2-3x} =\frac{x}{x(x-3)}+\frac{5-x}{x(x-3)} =\frac{5}{x(x-3)}$$

   $$\frac{2}{x-3}-\frac{2x-3}{x^2-3x} =\frac{2x}{x(x-3)}-\frac{2x-3}{x(x-3)} =\frac{3}{x(x-3)}$$

   Тогда
   $$\frac{\frac{5}{x(x-3)}}{\frac{3}{x(x-3)}}=\frac{5}{3}.$$

   Следовательно, в условии, вероятно, опечатка: левая часть равна $$\frac{5}{3},$$ а не $$-\frac{2}{3}.$$

3. в)

   $$\frac{\frac{1}{x+y}-\frac{1}{x-y}}{\frac{1}{x-y}-\frac{1}{x+y}}$$

   Преобразуем числитель:

   $$\frac{1}{x+y}-\frac{1}{x-y} =\frac{x-y-(x+y)}{(x+y)(x-y)} =\frac{-2y}{x^2-y^2}$$

   Знаменатель:

   $$\frac{1}{x-y}-\frac{1}{x+y} =\frac{x+y-(x-y)}{(x+y)(x-y)} =\frac{2y}{x^2-y^2}$$

   Тогда
   $$\frac{\frac{-2y}{x^2-y^2}}{\frac{2y}{x^2-y^2}}=-1.$$

   Значит, в задании, вероятно, опечатка: левая часть равна $$-1,$$ а не $$-\frac{y}{x}.$$

4. г)

   $$\frac{\frac{4}{x}-\frac{x-4}{x^2-x}}{\frac{5}{x}-\frac{x-5}{x^2-x}}$$

   Так как $$x^2-x=x(x-1),$$ имеем:

   $$\frac{4}{x}-\frac{x-4}{x^2-x} =\frac{4(x-1)-(x-4)}{x(x-1)} =\frac{3x}{x(x-1)} =\frac{3}{x-1}$$

   $$\frac{5}{x}-\frac{x-5}{x^2-x} =\frac{5(x-1)-(x-5)}{x(x-1)} =\frac{4x}{x(x-1)} =\frac{4}{x-1}$$

   Тогда
   $$\frac{\frac{3}{x-1}}{\frac{4}{x-1}}=\frac{3}{4}.$$

Ответ

а) $$\frac{x}{y}$$; б) $$\frac{5}{3}$$; в) $$-1$$; г) $$\frac{3}{4}$$.