Упр.16.13 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

а) (x-9x^3)/(6x-2) = 0; в) (x^4-16)/(x^2-4) = 0; д) (x^2-10x+25)/(x(x-5)) = 0;
б) (x^3-64x)/(16+2x) = 0; г) (x^4-81)/(9+x^2) = 0; е) (x^3+2x^2+x)/(x^2-1) = 0. Решите уравнение:
а) (33 — 4y)/3y = -5;
б) 5y/(2y + 9) = 1/4;
в) (2y — 1)/3 = (6 — y)/4;
г) 5/(y + 2) = 4/(3y — 5);
д) y/(2y — 1) = 1/y;
е) (4y + y^2)/(y + 2) = 2y/3.

Подробный ответ

$$\frac{x-9x^3}{6x-2}=0$$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
$$x-9x^3=x(1-9x^2)=x(1-3x)(1+3x)=0$$
$$x=0,\quad x=\frac13,\quad x=-\frac13$$
Проверка знаменателя: $$6x-2\ne 0 \Rightarrow x\ne \frac13.$$
Значит, $$x=0,\,-\frac13.$$
$$\frac{x^3-64x}{16+2x}=0$$
$$x^3-64x=x(x^2-64)=x(x-8)(x+8)=0$$
$$x=0,\quad x=8,\quad x=-8$$
Проверка знаменателя: $$16+2x\ne 0 \Rightarrow x\ne -8.$$
Значит, $$x=0,\;8.$$
$$\frac{x^4-16}{x^2-4}=0$$
$$x^4-16=(x^2-4)(x^2+4)$$
Тогда
$$\frac{(x^2-4)(x^2+4)}{x^2-4}=0$$
Но при $$x^2-4=0$$ знаменатель обращается в нуль, поэтому такие значения не подходят. Остаётся проверить числитель $$x^2+4=0$$, а действительных решений у этого уравнения нет.
Следовательно, решений нет.
$$\frac{x^4-81}{9+x^2}=0$$
$$x^4-81=(x^2-9)(x^2+9)$$
$$\frac{(x^2-9)(x^2+9)}{x^2+9}=0$$
$$x^2-9=0 \Rightarrow x=\pm 3$$
Знаменатель $$x^2+9$$ при любых $$x$$ не равен нулю.
Значит, $$x=-3,\;3.$$
$$\frac{x^2-10x+25}{x(x-5)}=0$$
$$x^2-10x+25=(x-5)^2$$
Тогда
$$\frac{(x-5)^2}{x(x-5)}=0$$
Для нуля дроби нужно $$ (x-5)^2=0 \Rightarrow x=5,$$ но при этом знаменатель обращается в нуль. Значит, решений нет.
$$\frac{x^3+2x^2+x}{x^2-1}=0$$
$$x^3+2x^2+x=x(x^2+2x+1)=x(x+1)^2$$
$$x^2-1=(x-1)(x+1)$$
Тогда
$$\frac{x(x+1)^2}{(x-1)(x+1)}=0$$
Числитель равен нулю при $$x=0$$ или $$x=-1.$$ Но $$x=-1$$ не подходит, так как знаменатель равен нулю.
Значит, $$x=0.$$
$$\frac{33-4y}{3y}=-5$$
ОДЗ: $$y\ne 0.$$
$$33-4y=-15y$$
$$11y=-33$$
$$y=-3$$
$$\frac{5y}{2y+9}=\frac14$$
ОДЗ: $$2y+9\ne 0 \Rightarrow y\ne -\frac92.$$
$$20y=2y+9$$
$$18y=9$$
$$y=\frac12$$
$$\frac{2y-1}{3}=\frac{6-y}{4}$$
$$4(2y-1)=3(6-y)$$
$$8y-4=18-3y$$
$$11y=22$$
$$y=2$$
$$\frac{5}{y+2}=\frac{4}{3y-5}$$
ОДЗ: $$y\ne -2,\quad y\ne \frac53.$$
$$5(3y-5)=4(y+2)$$
$$15y-25=4y+8$$
$$11y=33$$
$$y=3$$
$$\frac{y}{2y-1}=\frac1y$$
ОДЗ: $$y\ne 0,\quad 2y-1\ne 0 \Rightarrow y\ne \frac12.$$
$$y\cdot y=2y-1$$
$$y^2-2y+1=0$$
$$\left(y-1\right)^2=0$$
$$y=1$$
$$\frac{4y+y^2}{y+2}=\frac{2y}{3}$$
ОДЗ: $$y\ne -2.$$
$$3(4y+y^2)=2y(y+2)$$
$$12y+3y^2=2y^2+4y$$
$$y^2+8y=0$$
$$y(y+8)=0$$
$$y=0 \quad \text{или} \quad y=-8$$