Упр.16.12 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

а) (3x+12)/3x = 0; в) (x^2-36)/(6+x) = 0; д) (x-9x^2)/(x(x-1)) = 0;
б) (0,5x-1)/(2-x) = 0; г) (4x^2-1)/(2x-1) = 0; е) (2x^2+8x)/(x^2-16) = 0. Решите уравнение:
а) (x^3 — 36x)/(6 + x) = 0;
б) (4x^3 — x)/(2x — 1) = 0;
в) (x — 9x^3)/(6x — 2) = 0;
г) (x^3 — 64x)/(16 + 2x) = 0;
д) (x^4 — 16)/(x^2 — 4) = 0;
е) (x^4 — 81)/(9 + x^2) = 0.

Подробный ответ

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

а) $$\frac{3x+12}{3x}=0$$
$$3x+12=0,\quad 3x\ne 0$$
$$x=-4$$
б) $$\frac{0{,}5x-1}{2-x}=0$$
$$0{,}5x-1=0,\quad 2-x\ne 0$$
$$x=2$$
Но при $$x=2$$ знаменатель равен нулю, значит, решений нет.
в) $$\frac{x^2-36}{6+x}=0$$
$$x^2-36=0,\quad x\ne -6$$
$$\left(x-6\right)\left(x+6\right)=0$$
$$x=6 \text{ или } x=-6$$
Значение $$x=-6$$ не подходит, так как обращает знаменатель в нуль.
$$x=6$$
г) $$\frac{4x^2-1}{2x-1}=0$$
$$4x^2-1=0,\quad 2x-1\ne 0$$
$$\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=0$$
$$x=\frac12 \text{ или } x=-\frac12$$
Значение $$x=\frac12$$ не подходит, так как знаменатель равен нулю.
$$x=-\frac12$$
д) $$\frac{x-9x^2}{x(x-1)}=0$$
$$x-9x^2=0,\quad x\ne 0,\ x\ne 1$$
$$x\left(1-9x\right)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=\frac19$$
Значение $$x=0$$ не подходит, так как знаменатель равен нулю.
$$x=\frac19$$
е) $$\frac{2x^2+8x}{x^2-16}=0$$
$$2x^2+8x=0,\quad x^2-16\ne 0$$
$$2x\left(x+4\right)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=-4$$
Значение $$x=-4$$ не подходит, так как знаменатель равен нулю.
$$x=0$$

Ответ

а) $$-4$$; б) решений нет; в) $$6$$; г) $$-\frac12$$; д) $$\frac19$$; е) $$0$$.

Ход решения

а) $$\frac{x^3-36x}{6+x}=0$$
$$x^3-36x=0,\quad x\ne -6$$
$$x\left(x^2-36\right)=0$$
$$x\left(x-6\right)\left(x+6\right)=0$$
$$x=0,\ 6,\ -6$$
Значение $$x=-6$$ не подходит.
$$x=0,\ 6$$
б) $$\frac{4x^3-x}{2x-1}=0$$
$$4x^3-x=0,\quad 2x-1\ne 0$$
$$x\left(4x^2-1\right)=0$$
$$x\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=0$$
$$x=0,\ \frac12,\ -\frac12$$
Значение $$x=\frac12$$ не подходит.
$$x=0,\ -\frac12$$
в) $$\frac{x-9x^3}{6x-2}=0$$
$$x-9x^3=0,\quad 6x-2\ne 0$$
$$x\left(1-9x^2\right)=0$$
$$x\left(1-3x\right)\left(1+3x\right)=0$$
$$x=0,\ \frac13,\ -\frac13$$
Значение $$x=\frac13$$ не подходит.
$$x=0,\ -\frac13$$
г) $$\frac{x^3-64x}{16+2x}=0$$
$$x^3-64x=0,\quad 16+2x\ne 0$$
$$x\left(x^2-64\right)=0$$
$$x\left(x-8\right)\left(x+8\right)=0$$
$$x=0,\ 8,\ -8$$
Значение $$x=-8$$ не подходит.
$$x=0,\ 8$$
д) $$\frac{x^4-16}{x^2-4}=0$$
$$x^4-16=0,\quad x^2-4\ne 0$$
$$\left(x^2-4\right)\left(x^2+4\right)=0$$
$$x^2=4 \text{ или } x^2=-4$$
Значения $$x=\pm 2$$ не подходят, а уравнение $$x^2=-4$$ действительных корней не имеет.
Корней нет.
е) $$\frac{x^4-81}{9+x^2}=0$$
$$x^4-81=0,\quad 9+x^2\ne 0$$
$$\left(x^2-9\right)\left(x^2+9\right)=0$$
$$x^2-9=0$$
$$x=\pm 3$$