Упр.16.10 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

((x + 1)/2x + 4/(x + 3) — 2) : (x + 1)/(x + 3) — (x^2 — 5x + 3)/2x является отрицательным числом.

Преобразуем выражение:

$$ \left(\frac{x+1}{2x}+\frac{4}{x+3}-2\right):\frac{x+1}{x+3}-\frac{x^2-5x+3}{2x} $$

Сначала упростим первую скобку:

$$ \frac{x+1}{2x}+\frac{4}{x+3}-2 = \frac{(x+1)(x+3)+8x-4x(x+3)}{2x(x+3)} $$

$$ = \frac{x^2+4x+3+8x-4x^2-12x}{2x(x+3)} = \frac{-3x^2+3}{2x(x+3)} = \frac{-3(x^2-1)}{2x(x+3)} = \frac{-3(x-1)(x+1)}{2x(x+3)} $$

Теперь делим на дробь:

$$ \frac{-3(x-1)(x+1)}{2x(x+3)}:\frac{x+1}{x+3} = \frac{-3(x-1)(x+1)}{2x(x+3)}\cdot\frac{x+3}{x+1} = \frac{-3(x-1)}{2x} $$

Тогда всё выражение равно:

$$ \frac{-3(x-1)}{2x}-\frac{x^2-5x+3}{2x} = \frac{-3x+3-x^2+5x-3}{2x} = \frac{-x^2+2x}{2x} = \frac{x(2-x)}{2x} = \frac{2-x}{2} $$

При $$x>2$$ имеем $$2-x<0$$, значит

$$ \frac{2-x}{2}<0 $$

Следовательно, значение выражения при любых $$x>2$$ является отрицательным числом.

Ответ

$$\frac{2-x}{2}<0,\quad \text{при } x>2.$$