Упр.158 Итоговое повторение ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

а) Одна сторона прямоугольника на 3 см больше другой, а его площадь больше 70 см2. Какую длину может иметь меньшая сторона прямоугольника?
б) Один из катетов прямоугольного треугольника на 5 см меньше другого, а площадь этого треугольника больше 25 см2. Какую длину может иметь больший катет?

а) Пусть меньшая сторона прямоугольника равна $$x$$ см, тогда большая — $$x+3$$ см, где $$x>0$$.

По условию площадь больше $$70$$ см², значит:

$$x(x+3)>70$$

$$x^2+3x-70>0$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=3^2-4\cdot 1\cdot(-70)=289=17^2$$

$$x_{1,2}=\frac{-3\pm 17}{2}$$

$$x_1=-10,\quad x_2=7$$

Так как ветви параболы направлены вверх, то

$$x^2+3x-70>0 \quad \text{при} \quad x<-10 \text{ или } x>7.$$

С учётом условия $$x>0$$ получаем:

$$x>7$$

б) Пусть больший катет равен $$x$$ см, тогда меньший — $$x-5$$ см, где $$x>5$$.

Площадь прямоугольного треугольника:

$$S=\frac{1}{2}x(x-5)$$

По условию $$S>25$$, значит:

$$\frac{1}{2}x(x-5)>25$$

$$x(x-5)>50$$

$$x^2-5x-50>0$$

Найдём корни:

$$D=(-5)^2-4\cdot 1\cdot(-50)=225=15^2$$

$$x_{1,2}=\frac{5\pm 15}{2}$$

$$x_1=-5,\quad x_2=10$$

Тогда

$$x^2-5x-50>0 \quad \text{при} \quad x<-5 \text{ или } x>10.$$

С учётом условия $$x>5$$ получаем:

$$x>10$$

Ответ

а) $$x>7$$ см; б) $$x>10$$ см.